Prove que a função f: X -> R, definida por f(x) = 0 se x for racional, 1 se x for irracional é descontínua em todo x em R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para provar que a função , definida por
é descontínua em todo . Isso tá ligado ao estudo de continuidade de funções, que é um assunto fundamental em Análise Matemática. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade numa função e como verificar se uma função é contínua ou descontínua num ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Se isso não acontecer, a função é descontínua nesse ponto.

Passo 3

No nosso caso, a função tem dois valores possíveis: 0 se for racional e 1 se for irracional. Vamos escolher um ponto qualquer e verificar se a função é contínua ou não nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Pra isso, precisamos considerar todos os valores de perto de . Sabemos que entre quaisquer dois números reais, sempre tem números racionais e irracionais (isso se chama densidade dos racionais e irracionais).

Passo 5

Então, ao aproximar de , vai alternar entre 0 e 1, porque sempre vai ter racional (onde ) e irracional (onde ) perto de . Isso quer dizer que o limite não vai se estabilizar em um único valor, ele oscila entre 0 e 1.

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de não existe (porque não há um único valor para qual está se aproximando), ele certamente não é igual a , que pode ser 0 ou 1 dependendo se é racional ou irracional.

Passo 7

Portanto, já que o limite não existe em nenhum ponto , a função não é contínua em nenhum .

Resposta

A função é descontínua em todo .

Exercícios relacionados