Prove que a função
, definida por
é descontínua em todo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para provar que a função
, definida por
é descontínua em todo
. Isso tá ligado ao estudo de continuidade de funções, que é um assunto fundamental em Análise Matemática. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade numa função e como verificar se uma função é contínua ou descontínua num ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua num ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Se isso não acontecer, a função é descontínua nesse ponto.
Passo 3
No nosso caso, a função
tem dois valores possíveis: 0 se
for racional e 1 se
for irracional. Vamos escolher um ponto qualquer
e verificar se a função é contínua ou não nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Pra isso, precisamos considerar todos os valores de
perto de
. Sabemos que entre quaisquer dois números reais, sempre tem números racionais e irracionais (isso se chama densidade dos racionais e irracionais).
Passo 5
Então, ao aproximar
de
,
vai alternar entre 0 e 1, porque sempre vai ter
racional (onde
) e irracional (onde
) perto de
. Isso quer dizer que o limite não vai se estabilizar em um único valor, ele oscila entre 0 e 1.
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe (porque não há um único valor para qual
está se aproximando), ele certamente não é igual a
, que pode ser 0 ou 1 dependendo se
é racional ou irracional.
Passo 7
Portanto, já que o limite não existe em nenhum ponto
, a função
não é contínua em nenhum
.
Resposta
A função
é descontínua em todo
.