Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = raiz(x) e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno:
Do eixo y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Precisamos encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pela curva , pelas retas e , ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que vamos girar. A curva pode ser reescrita como . As retas e (o eixo ) delimitam a região em questão. Vamos traçar esses gráficos para visualizar melhor a área que será girada.

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , é mais conveniente expressar em função de . Já temos a partir da curva . A reta nos dá o limite superior de , e é o limite inferior (o eixo ).

Passo 4

Vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área de pequenos discos circulares ao longo do eixo de rotação. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde é o raio do disco em cada ponto , e e são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, o raio é a distância do eixo até a curva , ou seja, . Os limites de integração são de a .

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Avaliada de 0 a 2:

Passo 8

Multiplicando pela :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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