Seja f(x)=2+|5 x-1|. Calcule se existir:
a) lim x 15^+ f(x)
b) lim x 15^- f(x)
c) lim x 15 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos calcular três limites diferentes quando se aproxima de . Isso envolve entender como as funções de valor absoluto funcionam e como calcular limites laterais e o limite geral. Vamos precisar saber como lidar com expressões de valor absoluto e aplicar as definições de limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função 5x - 1 = 0 implies x = 15 . O valor absoluto muda de comportamento dependendo se é positivo ou negativo. Para descobrir onde isso acontece, resolvemos :
Isso significa que para , é positivo e . Para , é negativo e .

Passo 3

Vamos calcular o primeiro limite: f(x) = 2 + (5x - 1) = 5x + 1 . Isso significa que limx to 15^+ f(x) = 5 ( 15 ) + 1 = 1 + 1 = 2 está se aproximando de pela direita, ou seja, valores maiores que . Nessa região, , então:
Agora, substituímos por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo limite: f(x) = 2 + (1 - 5x) = 3 - 5x . Aqui, limx to 15^- f(x) = 3 - 5 ( 15 ) = 3 - 1 = 2 está se aproximando de pela esquerda, ou seja, valores menores que . Nessa área, , então:
Substituindo por :

Passo 5

Por fim, vamos determinar o limite geral limx to 15^+ f(x) = 2 e limx to 15^- f(x) = 2 . Para que esse limite exista, os limites laterais precisam ser iguais. Vimos que:
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral também existe e é igual a 2.

Resposta

a)
b)
c)

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