Seja
Esboce o gráfico dessa função e calcule os seguintes limites, se existirem:
a) lim x -1 f(x)
b) lim x 1 f(x)
c) lim x 0 f(x)
d) lim x 2 f(x)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites e esboço de gráfico de funções. A função dada é uma função por partes, ou seja, ela muda a sua expressão dependendo do valor de . Vamos precisar entender como cada pedaço da função se comporta e aplicar conhecimentos de limites para calcular os valores solicitados.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função f(x) = 1x, & se x < 0 x^2, & se 0 <= x < 1 2, & se x = 1 2 - x, & se x > 1 . A função é definida assim:
Vamos analisar cada parte:
Para : é uma hipérbole.
Para : é uma parábola.
Para : é um ponto específico.
Para : é uma reta decrescente.
[Aqui imagina um esboço do gráfico mostrando essas partes.]
Passo 3
Agora, vamos calcular os limites solicitados.
a) limx to -1 1x = 1-1 = -1
Análise:
Quando limx to 1^- x^2 = 1^2 = 1 se aproxima de -1, estamos na parte da função onde limx to 1^+ 2 - x = 2 - 1 = 1 , então usamos limx to 0^- 1x = -infty .
Cálculo:
Substituindo limx to 0^+ x^2 = 0 por -1 na expressão:
limx to 2 2 - x = 2 - 2 = 0
b)
Análise:
Aqui, temos que avaliar o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
Pela esquerda (): Usamos .
Pela direita (): Usamos .
Cálculo:
Como os dois limites laterais são iguais, o limite existe e é igual a 1.
c)
Análise:
Vamos ver os limites pela esquerda e pela direita de 0.
Pela esquerda ():
Pela direita ():
Cálculo:
Os limites laterais não são iguais, então o limite em não existe.
d)
Análise:
Para próximo a 2, estamos na parte da função , então usamos .