Seja f(x, y)=2 x y^2x^2+y^4. O limite abaixo existe? Por quê?
lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^4

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para descobrir se o limite da função existe quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho que a gente escolha para chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função. Temos . Queremos ver o que acontece com essa função quando e ficam muito próximos de zero. Para isso, podemos tentar diferentes caminhos para e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 3

Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo f(x, 0) = 2x cdot 0^2x^2 + 0^4 = 0x^2 = 0 , ou seja, onde . Substituindo na função:
Então, pelo eixo , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar pelo eixo f(0, y) = 2 cdot 0 cdot y^20^2 + y^4 = 0y^4 = 0 , onde . Substituindo na função:
Pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 5

Mas para termos certeza se o limite existe, precisamos verificar outros caminhos. Vamos tentar por uma reta qualquer, por exemplo, f(x, kx) = 2x (kx)^2x^2 + (kx)^4 = 2x cdot k^2x^2x^2 + k^4x^4 = 2k^2x^3x^2(1 + k^4x^2) = 2k^2x1 + k^4x^2 , onde é uma constante. Substituindo:
Quando , o numerador e o denominador . Então, o limite é 0 por qualquer reta.

Passo 6

Para ter certeza de que o limite realmente existe, vamos tentar um caminho diferente. Vamos escolher f(x, x^1/2) = 2x (x^1/2)^2x^2 + (x^1/2)^4 = 2x cdot xx^2 + x^2 = 2x^22x^2 = 1 . Substituindo:
Aqui, ao escolher , o limite é 1, diferente dos limites anteriores que eram 0.

Passo 7

Como encontramos caminhos diferentes que levam a limites diferentes ( e ), isso significa que o limite não é o mesmo independente do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe, pois diferentes caminhos de aproximação levam a valores de limite distintos.

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