Seja
. O limite abaixo existe? Por quê?
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para descobrir se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho que a gente escolha para chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função. Temos
. Queremos ver o que acontece com essa função quando
e
ficam muito próximos de zero. Para isso, podemos tentar diferentes caminhos para
e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 3
Vamos começar avaliando o limite ao longo do eixo
, ou seja, onde
. Substituindo
na função:
Então, pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos tentar pelo eixo
, onde
. Substituindo
na função:
Pelo eixo
, o limite também é 0.
Passo 5
Mas para termos certeza se o limite existe, precisamos verificar outros caminhos. Vamos tentar por uma reta qualquer, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo:
Quando
, o numerador
e o denominador
. Então, o limite é 0 por qualquer reta.
Passo 6
Para ter certeza de que o limite realmente existe, vamos tentar um caminho diferente. Vamos escolher
. Substituindo:
Aqui, ao escolher
, o limite é 1, diferente dos limites anteriores que eram 0.
Passo 7
Como encontramos caminhos diferentes que levam a limites diferentes (
e
), isso significa que o limite não é o mesmo independente do caminho escolhido.
Resposta
O limite
não existe, pois diferentes caminhos de aproximação levam a valores de limite distintos.