Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças dos pontos
.
39.
não existe;
se
se
se
39.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos desenhar o gráfico dela próximo aos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar informações sobre as derivadas primeira e segunda nesses pontos e nas regiões ao redor. Vamos precisar conhecer conceitos de derivadas, como existência de derivadas, sinais da derivada segunda e o que isso significa para a forma do gráfico.
Passo 2
Vamos começar analisando o ponto
. A questão diz que
não existe. Isso significa que, no ponto
, a função tem uma cuspide ou um canto, ou seja, a inclinação muda de forma abrupta ali.
Passo 3
Agora, olhamos para o ponto
. Aqui temos
e
. A derivada primeira negativa indica que a função está decrescendo nesse ponto. A derivada segunda igual a zero sugere que pode haver um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.
Passo 4
No ponto
,
. Isso indica que temos um ponto crítico, que pode ser um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Precisamos mais informações para saber qual é.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade:
- Para
, : a função é côncava para cima, o que significa que o gráfico tem a forma de um “S” virado para cima. - Para
, : a função é côncava para baixo, parecendo um “S” virado para baixo. - Para
, : a função volta a ser côncava para cima.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Em
, há uma cuspide porque a derivada não existe. - Passamos de côncava para cima para côncava para baixo entre
e , sugerindo uma mudança de concavidade. - Em
, a inclinação é -1 e há uma possível inflexão. - Após
, a concavidade volta a ser para cima. - Em
, a derivada sendo zero indica um ponto onde a inclinação é horizontal, podendo ser um mínimo local.
Resposta
O gráfico de
apresenta uma cuspide no ponto
, é côncavo para cima antes de
, muda para côncavo para baixo entre
e
, tem uma inclinação de -1 e possível inflexão em
, e volta a ser côncavo para cima após
. No ponto
, há um ponto onde a inclinação é zero, indicando um mínimo local.