Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças dos pontos c, d, e.
39. f'(c) não existe; f'(d) = -1 ; f''(d) = 0 ; f'(e) = 0 ; f''(x) > 0 se x < c ; f''(x) < 0 se c < x < d ; f''(x) > 0 se x > d

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos desenhar o gráfico dela próximo aos pontos , e . Para isso, vamos usar informações sobre as derivadas primeira e segunda nesses pontos e nas regiões ao redor. Vamos precisar conhecer conceitos de derivadas, como existência de derivadas, sinais da derivada segunda e o que isso significa para a forma do gráfico.

Passo 2

Vamos começar analisando o ponto . A questão diz que não existe. Isso significa que, no ponto , a função tem uma cuspide ou um canto, ou seja, a inclinação muda de forma abrupta ali.

Passo 3

Agora, olhamos para o ponto . Aqui temos e . A derivada primeira negativa indica que a função está decrescendo nesse ponto. A derivada segunda igual a zero sugere que pode haver um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.

Passo 4

No ponto , . Isso indica que temos um ponto crítico, que pode ser um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Precisamos mais informações para saber qual é.

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade:
  • Para , : a função é côncava para cima, o que significa que o gráfico tem a forma de um “S” virado para cima.
  • Para , : a função é côncava para baixo, parecendo um “S” virado para baixo.
  • Para , : a função volta a ser côncava para cima.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Em , há uma cuspide porque a derivada não existe.
  • Passamos de côncava para cima para côncava para baixo entre e , sugerindo uma mudança de concavidade.
  • Em , a inclinação é -1 e há uma possível inflexão.
  • Após , a concavidade volta a ser para cima.
  • Em , a derivada sendo zero indica um ponto onde a inclinação é horizontal, podendo ser um mínimo local.

Resposta

O gráfico de apresenta uma cuspide no ponto , é côncavo para cima antes de , muda para côncavo para baixo entre e , tem uma inclinação de -1 e possível inflexão em , e volta a ser côncavo para cima após . No ponto , há um ponto onde a inclinação é zero, indicando um mínimo local.

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