Utilize o teste da integral ou o teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teste da Integral ou o Teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série converge ou diverge. Isso significa que vamos analisar se somando todos os termos dessa série chega a um número finito (converge) ou se ele cresce sem limite (diverge). Para isso, vamos precisar entender como aplicar esses testes que ajudam a verificar o comportamento das séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a série: . Para facilitar a análise, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. Dividindo o numerador e o denominador por , temos:
Quando fica muito grande, o termo se torna insignificante, então a expressão se aproxima de . Isso nos dá uma pista de que a série pode se comportar como a série harmônica , que sabemos que diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral para confirmar essa suspeita. Primeiro, definimos uma função contínua, positiva e decrescente para , semelhante ao termo geral da série:
Em seguida, calculamos a integral imprópria de de 1 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , o que implica que . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite da integral quando tende ao infinito:
Como tende ao infinito quando , toda a expressão também tende ao infinito. Isso significa que a integral diverge.

Passo 6

De acordo com o Teste da Integral, se a integral da função correspondente diverge, então a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Seja definido em e sejam e as circunferências , respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter .
Podemos afirmar que a função definida por é contínua em ? Justifique sua resposta.
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a)
Seja o campo vetorial .
Utilize o item (b) para calcular onde é dada por .