Utilize o teste da integral ou o teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teste da Integral ou o Teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série sumn=1^infty nn^2+1 converge ou diverge. Isso significa que vamos analisar se somando todos os termos dessa série chega a um número finito (converge) ou se ele cresce sem limite (diverge). Para isso, vamos precisar entender como aplicar esses testes que ajudam a verificar o comportamento das séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a série: sumn=1^infty nn^2+1. Para facilitar a análise, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. Dividindo o numerador e o denominador por n^2, temos:
nn^2+1 = 1n + 1n
Quando n fica muito grande, o termo 1n se torna insignificante, então a expressão se aproxima de 1n. Isso nos dá uma pista de que a série pode se comportar como a série harmônica sumn=1^infty 1n, que sabemos que diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral para confirmar essa suspeita. Primeiro, definimos uma função contínua, positiva e decrescente para x >= 1, semelhante ao termo geral da série:
f(x) = xx^2 +1
Em seguida, calculamos a integral imprópria de f(x) de 1 até o infinito:
integral1^infty xx^2 +1 , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^2 + 1, então du = 2x , dx, o que implica que x , dx = du2. Substituindo na integral:
integral xx^2 +1 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 +1) + C

Passo 5

Agora, avaliamos o limite da integral quando x tende ao infinito:
limb to infty 12 ln(b^2 +1) - 12 ln(2)
Como ln(b^2 +1) tende ao infinito quando b to infty, toda a expressão também tende ao infinito. Isso significa que a integral diverge.

Passo 6

De acordo com o Teste da Integral, se a integral da função correspondente diverge, então a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty nn^2+1 diverge.

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