Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teste da Integral ou o Teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série
converge ou diverge. Isso significa que vamos analisar se somando todos os termos dessa série chega a um número finito (converge) ou se ele cresce sem limite (diverge). Para isso, vamos precisar entender como aplicar esses testes que ajudam a verificar o comportamento das séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a série:
. Para facilitar a análise, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. Dividindo o numerador e o denominador por
, temos:
Quando
fica muito grande, o termo
se torna insignificante, então a expressão se aproxima de
. Isso nos dá uma pista de que a série pode se comportar como a série harmônica
, que sabemos que diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral para confirmar essa suspeita. Primeiro, definimos uma função contínua, positiva e decrescente para
, semelhante ao termo geral da série:
Em seguida, calculamos a integral imprópria de
de 1 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, o que implica que
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite da integral quando
tende ao infinito:
Como
tende ao infinito quando
, toda a expressão também tende ao infinito. Isso significa que a integral diverge.
Passo 6
De acordo com o Teste da Integral, se a integral da função correspondente diverge, então a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Seja
definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter
.
Sem mostrar, considere a igualdade
Podemos afirmar que a função
definida por
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a)
a)
Seja
o campo vetorial
.
Utilize o item (b) para calcular onde
é dada por
.
Utilize o item (b) para calcular