Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para estudarmos a convergência da série
. O conteúdo aqui envolve séries numéricas, especificamente sobre determinar se a série converge, e se sim, qual é a soma dela. Para isso, vamos precisar entender conceitos como séries telescópicas e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Esse tipo de expressão pode ser simplificado usando frações parciais, que nos ajudam a dividir a fração em partes mais simples. A ideia é escrever
como a diferença de duas frações mais simples.
Passo 3
Vamos fazer essa decomposição:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos de
e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos que
e
. Portanto:
Passo 4
Agora que temos a decomposição, vamos reescrever a série original usando essa forma:
Observamos que essa série é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os termos sucessivos. Vamos ver os primeiros termos para entender melhor:
Como podemos ver,
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo da primeira fração e o último termo da última fração.
Passo 5
Vamos calcular a soma parcial até o termo
:
Como tudo mais se cancela, ficamos com:
Agora, para encontrar o valor da soma da série infinita, fazemos
:
Resposta
A série
converge absolutamente e a sua soma é igual a 1.
Exercícios relacionados
Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(a)
Seja
definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter
.
Sem mostrar, considere a igualdade
Seja
o campo vetorial
.
Utilize o item (b) para calcular onde
é dada por
.
Utilize o item (b) para calcular
Calcule o limite de quocientes indeterminados.
pt.)