Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a) sumk=1^infty 1k(k+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para estudarmos a convergência da série . O conteúdo aqui envolve séries numéricas, especificamente sobre determinar se a série converge, e se sim, qual é a soma dela. Para isso, vamos precisar entender conceitos como séries telescópicas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Esse tipo de expressão pode ser simplificado usando frações parciais, que nos ajudam a dividir a fração em partes mais simples. A ideia é escrever como a diferença de duas frações mais simples.

Passo 3

Vamos fazer essa decomposição:
1k(k+1) = Ak + Bk+1
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(k+1) + Bk para eliminar os denominadores:
1 = Ak + A + Bk
Agora, expandimos:
1 = (A + B)k + A
Agrupando os termos semelhantes:
A + B = 0 A = 1
Para que essa igualdade seja válida para todo 1k(k+1) = 1k - 1k+1 , os coeficientes dos termos de e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos que e . Portanto:

Passo 4

Agora que temos a decomposição, vamos reescrever a série original usando essa forma:
sumk=1^infty ( 1k - 1k+1 )
Observamos que essa série é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os termos sucessivos. Vamos ver os primeiros termos para entender melhor:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Como podemos ver, cancela com , cancela com , e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo da primeira fração e o último termo da última fração.

Passo 5

Vamos calcular a soma parcial até o termo Sn = ( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + dots + ( 1n - 1n+1 ) :
Sn = 1 - 1n+1
Como tudo mais se cancela, ficamos com:
limn to infty Sn = limn to infty (1 - 1n+1) = 1 - 0 = 1
Agora, para encontrar o valor da soma da série infinita, fazemos :

Resposta

A série converge absolutamente e a sua soma é igual a 1.

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