Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para estudarmos a convergência da série . O conteúdo aqui envolve séries numéricas, especificamente sobre determinar se a série converge, e se sim, qual é a soma dela. Para isso, vamos precisar entender conceitos como séries telescópicas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Esse tipo de expressão pode ser simplificado usando frações parciais, que nos ajudam a dividir a fração em partes mais simples. A ideia é escrever como a diferença de duas frações mais simples.

Passo 3

Vamos fazer essa decomposição:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos de e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos que e . Portanto:

Passo 4

Agora que temos a decomposição, vamos reescrever a série original usando essa forma:
Observamos que essa série é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os termos sucessivos. Vamos ver os primeiros termos para entender melhor:
Como podemos ver, cancela com , cancela com , e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo da primeira fração e o último termo da última fração.

Passo 5

Vamos calcular a soma parcial até o termo :
Como tudo mais se cancela, ficamos com:
Agora, para encontrar o valor da soma da série infinita, fazemos :

Resposta

A série converge absolutamente e a sua soma é igual a 1.

Exercícios relacionados

Utilize o teste da integral ou o teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
Seja definido em e sejam e as circunferências , respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Sem mostrar, considere a igualdade verdadeira. Com isso, use o Teorema de Green para obter .
Seja o campo vetorial .
Utilize o item (b) para calcular onde é dada por .
Calcule o limite de quocientes indeterminados. pt.)