Seja e seja o subespaço gerado por .
(b) Verifique se o vetor pertence a .
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá um conjunto de vetores que geram um subespaço no espaço . A pergunta é: o vetor está dentro desse subespaço ? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, lembrar que um vetor pertence a um subespaço gerado por um conjunto de vetores se ele pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, precisamos encontrar escalares , , e tais que:
Passo 3
Vamos escrever isso componente a componente:
Primeira coordenada:
Segunda coordenada:
Terceira coordenada:
Quarta coordenada:
Passo 4
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação, podemos simplificar:
Isso nos ajuda a reduzir o número de variáveis.
Passo 6
Substituímos nas outras equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
Quarta equação:
Agora, nosso sistema fica:
Passo 7
Vamos resolver pela segunda equação:
E da terceira equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:
Passo 8
Aí está o problema: chegamos a uma contradição , o que significa que nosso sistema não tem solução. Isso quer dizer que não existe combinação linear dos vetores em que resulte no vetor .