Seja e seja o subespaço gerado por .
(b) Verifique se o vetor pertence a .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá um conjunto de vetores que geram um subespaço no espaço . A pergunta é: o vetor está dentro desse subespaço ? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembrar que um vetor pertence a um subespaço gerado por um conjunto de vetores se ele pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, precisamos encontrar escalares , , e tais que:

Passo 3

Vamos escrever isso componente a componente:
  1. Primeira coordenada:
  1. Segunda coordenada:
  1. Terceira coordenada:
  1. Quarta coordenada:

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação, podemos simplificar:
Isso nos ajuda a reduzir o número de variáveis.

Passo 6

Substituímos nas outras equações:
  1. Primeira equação:
  1. Terceira equação:
  1. Quarta equação:
Agora, nosso sistema fica:

Passo 7

Vamos resolver pela segunda equação:
E da terceira equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:

Passo 8

Aí está o problema: chegamos a uma contradição , o que significa que nosso sistema não tem solução. Isso quer dizer que não existe combinação linear dos vetores em que resulte no vetor .

Resposta

O vetor não pertence ao subespaço gerado por .

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, com as operações usuais.