Seja .
Determine as bases e dimensões para:
a) espaço coluna de ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as bases e dimensões do espaço coluna da matriz . Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais na Álgebra Linear. Pra resolver isso, a gente precisa identificar quais colunas de são linhadamente independentes e, a partir daí, determinar a base e a dimensão desse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Nosso objetivo é encontrar quais colunas são essenciais para formar o espaço coluna.
Passo 3
Vamos usar a técnica de redução de linha para simplificar a matriz e identificar as colunas pivô (as que têm o primeiro 1 na linha). Isso vai nos ajudar a ver quais colunas são independentes.
Passo 4
Primeiro, observamos que a primeira coluna já tem um 1 no topo. Vamos usar esse 1 para eliminar os números abaixo dele na primeira coluna.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Já temos um 1 na segunda posição da segunda linha. Vamos usar esse 1 para eliminar os números abaixo dele na segunda coluna.
Subtraindo 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
E subtraindo 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, vamos observar a terceira coluna. Notamos que na terceira linha temos zeros, então a terceira coluna não vai ser uma coluna pivô. Vamos olhar para a quarta coluna.
Multiplicando a quarta linha por -1 para simplificar:
Ficando:
Agora, temos um 1 na quarta coluna da última linha, que será nossa próxima coluna pivô.
Passo 7
Identificamos as colunas pivô na matriz reduzida: a primeira, a segunda e a quarta colunas. Isso significa que as colunas 1, 2 e 4 da matriz original são linhadamente independentes e formam a base do espaço coluna.
Resposta
A base do espaço coluna de é formada pelas colunas 1, 2 e 4 de , ou seja,