Seja A um anel. Prove: Dê um exemplo de anel A com elementos alpha e beta tais que (alpha+beta)^2 neq alpha^2+2 alpha beta+beta^2.

Passo 1

Então, a gente tem que trabalhar com anéis, que são estruturas matemáticas onde podemos fazer adição e multiplicação seguindo algumas regras. O exercício pede pra gente encontrar um exemplo de um anel A e dois elementos alpha e beta nesse anel, de modo que ao calcularmos (alpha+beta)^2 a gente não obtenha o mesmo que alpha^2 + 2 alpha beta + beta^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações funcionam em diferentes tipos de anéis e explorar um anel específico onde essa igualdade não vale.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir (alpha + beta)^2. Em geral, temos:
(alpha + beta)^2 = alpha^2 + alpha beta + beta alpha + beta^2
Isso é válido em qualquer anel, independentemente se ele é comutativo ou não.

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com a expressão alpha^2 + 2 alpha beta + beta^2. Essa igualdade assume que alpha beta = beta alpha e que podemos distribuir o 2:
alpha^2 + 2 alpha beta + beta^2 = alpha^2 + alpha beta + alpha beta + beta^2
Isso só é igual a (alpha + beta)^2 se alpha beta = beta alpha e se o 2 é um elemento invertível no anel.

Passo 4

Vamos escolher um anel onde 2 não é invertível, como o anel dos inteiros módulo 2, Z/2Z. Nesse anel, 2 é igual a 0 porque 2 equiv 0 pmod2.

Passo 5

No anel Z/2Z, temos apenas dois elementos: 0 e 1. Vamos escolher alpha = beta = 1.
Calculando (alpha + beta)^2:
(1 + 1)^2 = 0^2 = 0
Agora, calculando alpha^2 + 2 alpha beta + beta^2:
1^2 + 2 cdot 1 cdot 1 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 0
Ops, nesse caso deu igual. Vamos tentar outro anel.

Passo 6

Vamos agora considerar um anel não comutativo, como o anel de matrizes M2(Z). Vamos escolher duas matrizes que não comutam.
Escolha:
alpha = 0 & 1 0 & 0 , beta = 0 & 0 1 & 0

Passo 7

Calculando (alpha + beta)^2:
alpha + beta = 0 & 1 1 & 0
Então,
(alpha + beta)^2 = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0 = 1 & 0 0 & 1

Passo 8

Agora, calculando alpha^2 + 2 alpha beta + beta^2:
Primeiro, vemos que:
alpha^2 = 0 & 1 0 & 0 ^2 = 0 & 0 0 & 0 , beta^2 = 0 & 0 1 & 0 ^2 = 0 & 0 0 & 0
E,
alpha beta = 0 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1 & 0 0 & 0 , beta alpha = 0 & 0 1 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 1
Então,
2 alpha beta = 2 & 0 0 & 0
Como estamos trabalhando com matrizes sobre Z, o 2 não é zero.
Portanto,
alpha^2 + 2 alpha beta + beta^2 = 0 & 0 0 & 0 + 2 & 0 0 & 0 + 0 & 0 0 & 0 = 2 & 0 0 & 0

Resposta

No anel M2(Z), com alpha = 0 & 1 0 & 0 e beta = 0 & 0 1 & 0 , temos que (alpha + beta)^2 neq alpha^2 + 2 alpha beta + beta^2.

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