Seja
um anel. Prove: Dê um exemplo de anel
com elementos
e
tais que
.
Passo 1
Então, a gente tem que trabalhar com anéis, que são estruturas matemáticas onde podemos fazer adição e multiplicação seguindo algumas regras. O exercício pede pra gente encontrar um exemplo de um anel
e dois elementos
e
nesse anel, de modo que ao calcularmos
a gente não obtenha o mesmo que
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações funcionam em diferentes tipos de anéis e explorar um anel específico onde essa igualdade não vale.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
. Em geral, temos:
Isso é válido em qualquer anel, independentemente se ele é comutativo ou não.
Passo 3
Agora, vamos comparar isso com a expressão
. Essa igualdade assume que
e que podemos distribuir o 2:
Isso só é igual a
se
e se o 2 é um elemento invertível no anel.
Passo 4
Vamos escolher um anel onde 2 não é invertível, como o anel dos inteiros módulo 2,
. Nesse anel,
é igual a
porque
.
Passo 5
No anel
, temos apenas dois elementos:
e
. Vamos escolher
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Ops, nesse caso deu igual. Vamos tentar outro anel.
Passo 6
Vamos agora considerar um anel não comutativo, como o anel de matrizes
. Vamos escolher duas matrizes que não comutam.
Escolha:
Passo 7
Calculando
:
Então,
Passo 8
Agora, calculando
:
Primeiro, vemos que:
E,
Então,
Como estamos trabalhando com matrizes sobre
, o 2 não é zero.
Portanto,
Resposta
No anel
, com
e
, temos que
.