Suponha que B=u1, u2, u3 seja uma base e sejam v1=u1+u2+u3, v2=u1+u2 e v3=u3. Verifique se os conjunto barB=v1, v2, v3 é também uma base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto também forma uma base, dado que é uma base. Vamos trabalhar com conceitos de bases em espaços vetoriais e independência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é uma base. Isso quer dizer que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e , e que esses vetores são linearmente independentes (nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros).

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores em v1 = u1 + u2 + u3 :
v2 = u1 + u2
v3 = u3
Queremos saber se também é uma base, ou seja, se e são linearmente independentes e geram o mesmo espaço que .

Passo 4

Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com v1 = 1 1 1 , v2 = 1 1 0 , v3 = 0 0 1 e A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Expressando os vetores em termos das coordenadas na base :
Então, a matriz fica:

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 cdot (ldots) = 1 - 1 + 0 = 0 :

Passo 6

Como o determinante é zero, isso indica que os vetores e são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 7

De fato, observando v1 = v2 + v3 e :
Isso mostra que é uma combinação linear de e , confirmando a dependência linear.

Resposta

Não, o conjunto não é uma base, pois os vetores são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados