Suponha que seja uma base e sejam e . Verifique se os conjunto é também uma base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto também forma uma base, dado que é uma base. Vamos trabalhar com conceitos de bases em espaços vetoriais e independência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é uma base. Isso quer dizer que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e , e que esses vetores são linearmente independentes (nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros).

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores em :
Queremos saber se também é uma base, ou seja, se e são linearmente independentes e geram o mesmo espaço que .

Passo 4

Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com e como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Expressando os vetores em termos das coordenadas na base :
Então, a matriz fica:

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz :

Passo 6

Como o determinante é zero, isso indica que os vetores e são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 7

De fato, observando e :
Isso mostra que é uma combinação linear de e , confirmando a dependência linear.

Resposta

Não, o conjunto não é uma base, pois os vetores são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Discutir e resolver os sistemas homogêneos abaixo:
(a)
Dado um sistema homogêneo com solução diferente da trivial: ii) Se X e Y são soluções, então X + Y também é solução; ii) Se X é solução, então também é solução, para qualquer escalar real.
Seja B uma base de . Dados e , encontre as coordenadas do vetor em relação à base , onde .
Dada a reta abaixo, determine o ponto de tal que.