Suponha que seja uma base e sejam e . Verifique se os conjunto é também uma base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto também forma uma base, dado que é uma base. Vamos trabalhar com conceitos de bases em espaços vetoriais e independência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que é uma base. Isso quer dizer que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e , e que esses vetores são linearmente independentes (nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros).
Passo 3
Agora, vamos analisar os vetores em :
Queremos saber se também é uma base, ou seja, se e são linearmente independentes e geram o mesmo espaço que .
Passo 4
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com e como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Expressando os vetores em termos das coordenadas na base :
Então, a matriz fica:
Passo 5
Vamos calcular o determinante da matriz :
Passo 6
Como o determinante é zero, isso indica que os vetores e são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 7
De fato, observando e :
Isso mostra que é uma combinação linear de e , confirmando a dependência linear.
Resposta
Não, o conjunto não é uma base, pois os vetores são linearmente dependentes.