Discutir e resolver os sistemas homogêneos abaixo:
(a) c3 x-y+2 z-t=0 3 x+y+3 z+t=0 x-y-z-5 t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneas juntos! Primeiro, o que isso significa? Um sistema homogêneo é aquele onde todas as equações igualam a zero. Aqui, temos três equações com quatro variáveis: , , e . Para resolver, vamos usar eliminação e substituição para encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de forma mais clara:
3x - y + 2z - t = 0 (1) 3x + y + 3z + t = 0 (2) x - y - z - 5t = 0 (3)

Passo 3

Primeiro, vamos somar as equações (1) e (2) para eliminar o (3x - y + 2z - t) + (3x + y + 3z + t) = 0 + 0 6x + 5z = 0 (4) e o 6x + 5z = 0 :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos tentar expressar uma variável em termos das outras. Da equação (4):
6x = -5z x = -56z
Então, está em função de . Vamos chamar e , onde e são parâmetros livres.

Passo 5

Com 3(-56alpha) - y + 2alpha - t = 0 -156alpha - y + 2alpha - beta = 0 -52alpha - y + 2alpha - beta = 0 (-52 + 2)alpha - y - beta = 0 -12alpha - y - beta = 0 y = -12alpha - beta e , vamos substituir na equação (1):

Passo 6

Agora temos todas as variáveis em termos de x = -56alpha y = -12alpha - beta z = alpha t = beta e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = -dfrac56alpha y = -dfrac12alpha - beta z = alpha t = beta
Onde e são números reais quaisquer. Isso significa que existem infinitas soluções para o sistema, dependendo dos valores escolhidos para e .

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