Discutir e resolver os sistemas homogêneos abaixo:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneas juntos! Primeiro, o que isso significa? Um sistema homogêneo é aquele onde todas as equações igualam a zero. Aqui, temos três equações com quatro variáveis: , , e . Para resolver, vamos usar eliminação e substituição para encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de forma mais clara:

Passo 3

Primeiro, vamos somar as equações (1) e (2) para eliminar o e o :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos tentar expressar uma variável em termos das outras. Da equação (4):
Então, está em função de . Vamos chamar e , onde e são parâmetros livres.

Passo 5

Com e , vamos substituir na equação (1):

Passo 6

Agora temos todas as variáveis em termos de e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são números reais quaisquer. Isso significa que existem infinitas soluções para o sistema, dependendo dos valores escolhidos para e .

Exercícios relacionados

Dado um sistema homogêneo com solução diferente da trivial: ii) Se X e Y são soluções, então X + Y também é solução; ii) Se X é solução, então também é solução, para qualquer escalar real.
Dado o sistema :
b) Verifique que a matriz é uma solução para o sistema.
Suponha que seja uma base e sejam e . Verifique se os conjunto é também uma base.
Seja B uma base de . Dados e , encontre as coordenadas do vetor em relação à base , onde .