Verifique se
é anel, quando:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se
é um anel. Aqui,
é o conjunto dos números reais
, e as operações estão definidas assim:
Vamos precisar entender o que é um anel na matemática e verificar se essas operações satisfazem as propriedades necessárias. Um anel é uma estrutura algébrica que possui duas operações que se comportam como adição e multiplicação, seguindo certas regras. Vamos conferir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para
ser um anel, precisamos que:
-
seja um grupo abeliano (ou seja, comutativo). -
seja associativo. - A operação
distribua sobre a operação e vice-versa.
Vamos começar verificando se
é um grupo abeliano.
Passo 3
Para
ser um grupo abeliano, precisamos que:
- Fechamento: Para todo
, está em . - Associatividade:
para todo . - Elemento Neutro: Existe um elemento
tal que para todo . - Inversos: Para todo
, existe um tal que . - Comutatividade:
para todo .
Vamos verificar cada um desses.
Passo 4
Fechamento: Dado que
, e
, a soma de dois reais menos 3 ainda é um real. Então, o fechamento está ok.
Comutatividade:
. Assim, a operação
é comutativa.
Passo 5
Elemento Neutro: Precisamos encontrar um
tal que
. Resolvendo:
Então, o elemento neutro é 3.
Inversos: Para cada
, queremos um
tal que
:
Então, o inverso de
é
.
Passo 6
Associatividade: Vamos verificar se
:
Primeiro,
Segundo,
Como os dois são iguais, a operação é associativa.
Primeiro,
Segundo,
Como os dois são iguais, a operação
Como todas as propriedades estão satisfeitas,
é um grupo abeliano.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
é associativa.
Para
ser associativa, precisamos que:
Vamos calcular cada lado:
Esquerda:
Direita:
Como ambas as expressões são iguais, a operação
é associativa.
Passo 8
Por último, precisamos verificar se as operações
e
distribuem uma sobre a outra.
Isso significa que:
e
Vamos checar a primeira distribuição:
Esquerda:
Direita:
Comparando com a esquerda, vemos que não são iguais, pois na esquerda temos um
a mais.
Portanto, a distribuição não funciona.
Resposta
Não,
não é um anel, pois a operação
não distribui sobre
.