Verifique se (A, *, triang<=) é anel, quando: A=R, a * b=a+b-3 e a triang<= b=a+b-a b3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se é um anel. Aqui, é o conjunto dos números reais , e as operações estão definidas assim:
Vamos precisar entender o que é um anel na matemática e verificar se essas operações satisfazem as propriedades necessárias. Um anel é uma estrutura algébrica que possui duas operações que se comportam como adição e multiplicação, seguindo certas regras. Vamos conferir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ser um anel, precisamos que:
  1. seja um grupo abeliano (ou seja, comutativo).
  2. seja associativo.
  3. A operação distribua sobre a operação e vice-versa.
Vamos começar verificando se é um grupo abeliano.

Passo 3

Para ser um grupo abeliano, precisamos que:
  • Fechamento: Para todo , está em .
  • Associatividade: para todo .
  • Elemento Neutro: Existe um elemento tal que para todo .
  • Inversos: Para todo , existe um tal que .
  • Comutatividade: para todo .
Vamos verificar cada um desses.

Passo 4

Fechamento: Dado que , e , a soma de dois reais menos 3 ainda é um real. Então, o fechamento está ok.
Comutatividade: . Assim, a operação é comutativa.

Passo 5

Elemento Neutro: Precisamos encontrar um a + e - 3 = a tal que e - 3 = 0 . Resolvendo:
e = 3
a + b - 3 = 3
a + b = 6
Então, o elemento neutro é 3.
Inversos: Para cada b = 6 - a , queremos um tal que :
Então, o inverso de é .

Passo 6

Associatividade: Vamos verificar se :
Primeiro,
Segundo,
Como os dois são iguais, a operação é associativa.
Como todas as propriedades estão satisfeitas, é um grupo abeliano.

Passo 7

Agora, vamos verificar se (a triang<= b) triang<= c = a triang<= (b triang<= c) é associativa.
Para (a triang<= b) triang<= c = (a + b - a b3) triang<= c ser associativa, precisamos que:
= (a + b - a b3) + c - (a + b - a b3) c3
Vamos calcular cada lado:
Esquerda:
= a + b + c - a b3 - a c3 - b c3 + a b c9
a triang<= (b triang<= c) = a triang<= (b + c - b c3)
= a + (b + c - b c3) - a (b + c - b c3)3
Direita:
= a + b + c - b c3 - a b3 - a c3 + a b c9
Como ambas as expressões são iguais, a operação é associativa.

Passo 8

Por último, precisamos verificar se as operações a triang<= (b * c) = (a triang<= b) * (a triang<= c) e a * (b triang<= c) = (a * b) triang<= (a * c) distribuem uma sobre a outra.
Isso significa que:
a triang<= (b * c) = a triang<= (b + c - 3)
e
= a + (b + c - 3) - a(b + c - 3)3
Vamos checar a primeira distribuição:
Esquerda:
= a + b + c - 3 - a b3 - a c3 + a
(a triang<= b) * (a triang<= c) = (a + b - a b3) * (a + c - a c3)
= (a + b - a b3) + (a + c - a c3) - 3
Direita:
= 2a + b + c - a b3 - a c3 - 3
Comparando com a esquerda, vemos que não são iguais, pois na esquerda temos um a mais.
Portanto, a distribuição não funciona.

Resposta

Não, não é um anel, pois a operação não distribui sobre .

Exercícios relacionados