Sejam r uma reta no plano e P um ponto que não pertence a r. Seja Q in r o ponto onde a reta r^prime, perpendicular a r, que passa por P intersecta r. O simétrico ou refletido do ponto P em relação a uma reta r é o ponto P^prime in r^prime tal que d(P, Q)=d(P^prime, Q). Determine:
(a) o simétrico do ponto P=(a, b) em relação à reta r: y=2 x+1;
(b) a reta s simétrica a reta s: y=4 x-3 em relação a reta r: y=2 x+1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica que trata da simetria de pontos e retas em relação a outra reta. Precisamos encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta dada e também determinar a reta simétrica de outra reta em relação à mesma reta inicial. Para isso, vamos precisar entender como refletir um ponto em relação a uma reta e como encontrar a reta simétrica de uma reta qualquer em relação a outra.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o simétrico do ponto em relação à reta .
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta, precisamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar a equação da reta perpendicular a que passa por .
  2. Encontrar o ponto de interseção entre essa reta perpendicular e a reta .
  3. Utilizar a propriedade de simetria: é o ponto médio entre e .
  4. Calcular as coordenadas de .

Passo 3

1. Encontrar a reta perpendicular a y - b = -12(x - a) que passa por .
A inclinação da reta é 2 (coeficiente de na equação ). A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do inverso, ou seja, .
Então, a equação da reta perpendicular passando por é:

Passo 4

2. Encontrar o ponto de interseção r: y = 2x + 1 entre a reta perpendicular e a reta Perpendicular: y = -12x + ( b + a2 ) .
Temos duas equações:
2x + 1 = -12x + ( b + a2 )
2x + 12x = b + a2 - 1
Igualando as duas expressões para 52x = b + a2 - 1 :
x = 25( b + a2 - 1 )
Vamos resolver para y = 2x + 1 = 2 times 25( b + a2 - 1 ) + 1 :
y = 45( b + a2 - 1 ) + 1
Q ( 25( b + a2 - 1 ), 45( b + a2 - 1 ) + 1 )
Agora, substituímos na equação de para encontrar :
Portanto, as coordenadas de são:

Passo 5

3. Utilizar a propriedade de simetria para encontrar xQ = a + x'2 .
Sabemos que yQ = b + y'2 é o ponto médio entre x' = 2xQ - a e y' = 2yQ - b . Então, podemos usar as fórmulas do ponto médio:
x' = 2 times 25( b + a2 - 1 ) - a = 45( b + a2 - 1 ) - a
y' = 2 times ( 45( b + a2 - 1 ) + 1 ) - b = 85( b + a2 - 1 ) + 2 - b
Resolvendo para x' = 45b + 25a - 45 - a = 45b - 35a - 45 e y' = 85b + 4 - 85 - b + 2 = 85b - b + 85 + 2 = 35b + 185 :
P' ( 45b - 35a - 45, 35b + 185 )
Substituindo as coordenadas de :
Simplificando as expressões:
Portanto, as coordenadas de são:

Passo 6

Parte (b): Encontrar a reta simétrica à reta em relação à reta .
Para encontrar a reta simétrica, seguiremos os seguintes passos:
  1. Encontrar dois pontos selecionados na reta .
  2. Encontrar os simétricos desses pontos em relação à reta (usando a parte (a)).
  3. Determinar a equação da reta que passa pelos dois pontos simétricos encontrados.

Passo 7

1. Selecionar dois pontos na reta .
Vamos escolher dois valores de para facilitar o cálculo:
  • Se , então . Ponto .
  • Se , então . Ponto .

Passo 8

2. Encontrar os simétricos de P' ( 45(-3) - 35(0) - 45, 35(-3) + 185 ) = ( -125 - 45, -95 + 185 ) = ( -165, 95 ) e P' ( 45(1) - 35(1) - 45, 35(1) + 185 ) = ( 45 - 35 - 45, 35 + 185 ) = ( -35, 215 ) em relação a .
Usando a parte (a), com sendo e .
Para :
Para :
Portanto, os simétricos são e .

Passo 9

3. Determinar a equação da reta m = yB' - yA'xB' - xA' = 215 - 95-35 - ( -165 ) = 125135 = 1213 que passa por y - yA' = m (x - xA') e y - 95 = 1213 ( x + 165 ) .
Primeiro, calculamos a inclinação y = 1213x + 19265 + 95 = 1213x + 19265 + 11765 = 1213x + 30965 da reta s': y = 1213x + 30965 :
Agora, usamos a fórmula da equação da reta:
Multiplicando e simplificando:
Portanto, a equação da reta simétrica é:

Resposta

(a) O simétrico do ponto em relação à reta é .
(b) A reta simétrica a em relação à reta é .

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