Sejam
uma reta no plano e
um ponto que não pertence a
. Seja
o ponto onde a reta
, perpendicular a
, que passa por
intersecta
. O simétrico ou refletido do ponto
em relação a uma reta
é o ponto
tal que
. Determine:
(a) o simétrico do ponto
em relação à reta
;
(b) a reta s simétrica a reta
em relação a reta
.
(a) o simétrico do ponto
(b) a reta s simétrica a reta
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica que trata da simetria de pontos e retas em relação a outra reta. Precisamos encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta dada e também determinar a reta simétrica de outra reta em relação à mesma reta inicial. Para isso, vamos precisar entender como refletir um ponto em relação a uma reta e como encontrar a reta simétrica de uma reta qualquer em relação a outra.
Passo 2
Parte (a): Encontrar o simétrico do ponto
em relação à reta
.
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta, precisamos seguir alguns passos:
- Encontrar a equação da reta perpendicular a
que passa por . - Encontrar o ponto de interseção
entre essa reta perpendicular e a reta . - Utilizar a propriedade de simetria:
é o ponto médio entre e . - Calcular as coordenadas de
.
Passo 3
1. Encontrar a reta perpendicular a
que passa por
.
A inclinação da reta
é 2 (coeficiente de
na equação
). A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do inverso, ou seja,
.
Então, a equação da reta perpendicular passando por
é:
Passo 4
2. Encontrar o ponto de interseção
entre a reta perpendicular e a reta
.
Temos duas equações:
Igualando as duas expressões para
:
Vamos resolver para
:
Agora, substituímos
na equação de
para encontrar
:
Portanto, as coordenadas de
são:
Passo 5
3. Utilizar a propriedade de simetria para encontrar
.
Sabemos que
é o ponto médio entre
e
. Então, podemos usar as fórmulas do ponto médio:
Resolvendo para
e
:
Substituindo as coordenadas de
:
Simplificando as expressões:
Portanto, as coordenadas de
são:
Passo 6
Parte (b): Encontrar a reta
simétrica à reta
em relação à reta
.
Para encontrar a reta simétrica, seguiremos os seguintes passos:
- Encontrar dois pontos selecionados na reta
. - Encontrar os simétricos desses pontos em relação à reta
(usando a parte (a)). - Determinar a equação da reta que passa pelos dois pontos simétricos encontrados.
Passo 7
1. Selecionar dois pontos na reta
.
Vamos escolher dois valores de
para facilitar o cálculo:
- Se
, então . Ponto . - Se
, então . Ponto .
Passo 8
2. Encontrar os simétricos de
e
em relação a
.
Usando a parte (a), com
sendo
e
.
Para
:
Para
:
Portanto, os simétricos são
e
.
Passo 9
3. Determinar a equação da reta
que passa por
e
.
Primeiro, calculamos a inclinação
da reta
:
Agora, usamos a fórmula da equação da reta:
Multiplicando e simplificando:
Portanto, a equação da reta simétrica
é:
Resposta
(a) O simétrico do ponto
em relação à reta
é
.
(b) A reta simétrica a
em relação à reta
é
.
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Ao estudar a estrutura atômica de uma liga metálica, um cientista modela a oscilação dos átomos por um movimento harmônico simples, cuja função horária para posição é
, com o tempo em microssegundos e a amplitude em nanômetros. Determine:
a) a amplitude;
a) a amplitude;
Seja
com a relação de ordem
.
é um reticulado? Justifique.
Determine as equações das retas paralelas à reta
que distam
de
.
Para
, considere a relação de ordem de
. Sejam
e
. Encontre todas as cotas inferiores de
. Determine
, se existir.