Sejam uma reta no plano e um ponto que não pertence a . Seja o ponto onde a reta , perpendicular a , que passa por intersecta . O simétrico ou refletido do ponto em relação a uma reta é o ponto tal que . Determine:
(a) o simétrico do ponto em relação à reta ;
(b) a reta s simétrica a reta em relação a reta .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica que trata da simetria de pontos e retas em relação a outra reta. Precisamos encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta dada e também determinar a reta simétrica de outra reta em relação à mesma reta inicial. Para isso, vamos precisar entender como refletir um ponto em relação a uma reta e como encontrar a reta simétrica de uma reta qualquer em relação a outra.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o simétrico do ponto em relação à reta .
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta, precisamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar a equação da reta perpendicular a que passa por .
  2. Encontrar o ponto de interseção entre essa reta perpendicular e a reta .
  3. Utilizar a propriedade de simetria: é o ponto médio entre e .
  4. Calcular as coordenadas de .

Passo 3

1. Encontrar a reta perpendicular a que passa por .
A inclinação da reta é 2 (coeficiente de na equação ). A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do inverso, ou seja, .
Então, a equação da reta perpendicular passando por é:

Passo 4

2. Encontrar o ponto de interseção entre a reta perpendicular e a reta .
Temos duas equações:
Igualando as duas expressões para :
Vamos resolver para :
Agora, substituímos na equação de para encontrar :
Portanto, as coordenadas de são:

Passo 5

3. Utilizar a propriedade de simetria para encontrar .
Sabemos que é o ponto médio entre e . Então, podemos usar as fórmulas do ponto médio:
Resolvendo para e :
Substituindo as coordenadas de :
Simplificando as expressões:
Portanto, as coordenadas de são:

Passo 6

Parte (b): Encontrar a reta simétrica à reta em relação à reta .
Para encontrar a reta simétrica, seguiremos os seguintes passos:
  1. Encontrar dois pontos selecionados na reta .
  2. Encontrar os simétricos desses pontos em relação à reta (usando a parte (a)).
  3. Determinar a equação da reta que passa pelos dois pontos simétricos encontrados.

Passo 7

1. Selecionar dois pontos na reta .
Vamos escolher dois valores de para facilitar o cálculo:
  • Se , então . Ponto .
  • Se , então . Ponto .

Passo 8

2. Encontrar os simétricos de e em relação a .
Usando a parte (a), com sendo e .
Para :
Para :
Portanto, os simétricos são e .

Passo 9

3. Determinar a equação da reta que passa por e .
Primeiro, calculamos a inclinação da reta :
Agora, usamos a fórmula da equação da reta:
Multiplicando e simplificando:
Portanto, a equação da reta simétrica é:

Resposta

(a) O simétrico do ponto em relação à reta é .
(b) A reta simétrica a em relação à reta é .

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a) a amplitude;
Seja com a relação de ordem . é um reticulado? Justifique.
Determine as equações das retas paralelas à reta que distam de .
Para , considere a relação de ordem de . Sejam e . Encontre todas as cotas inferiores de . Determine , se existir.