Seja uma base de . Para qual valor de os vetores e são paralelos a um mesmo plano do espaço?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer saber para quais valores de os vetores , e são paralelos ao mesmo plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e planos no , além de utilizar determinantes para verificar se os vetores são coplanares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que três vetores são coplanares (ou seja, todos estão no mesmo plano) se o determinante formado por eles for igual a zero. Isso significa que a combinação linear desses vetores não gera volume, indicando que eles estão todos em um mesmo plano.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com os vetores , e como colunas:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. O determinante é dado por:

Passo 5

Simplificando os cálculos:

Passo 6

Para os vetores serem coplanares, o determinante deve ser zero:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 8

Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

Exercícios relacionados

Seja uma matriz quadrada, mostre que:
(a) Se é idempotente então, ou
(b) Se é nilpotente então .
© Se é anti-simétrica e de ordem ímpar, então .
(d) Se é invertível, então também é invertível e .
Determine a equação da reta que é perpendicular à reta e passa por , nos casos: ;
Considere a equação matricial , onde e são matrizes invertíveis
(a) Determine em função de e .
(b) Calcule , se
Determine as equações das retas às quais pertencem os pares de pontos abaixo e classifique-as em crescentes ou decrescentes. e ;