Seja E uma base de V^3. Para qual valor de x in R os vetores a=(3,-x,-2)E, b=(3,2, x)E e c=(1,-3,1)E são paralelos a um mesmo plano do espaço?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer saber para quais valores de os vetores , e são paralelos ao mesmo plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e planos no , além de utilizar determinantes para verificar se os vetores são coplanares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que três vetores são coplanares (ou seja, todos estão no mesmo plano) se o determinante formado por eles for igual a zero. Isso significa que a combinação linear desses vetores não gera volume, indicando que eles estão todos em um mesmo plano.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com os vetores 3 & 3 & 1 -x & 2 & -3 -2 & x & 1 , e como colunas:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. O determinante De é dado por:

Passo 5

Simplificando os cálculos:
De
De
De

Passo 6

Para os vetores serem coplanares, o determinante deve ser zero:
-x^2 + 12x + 28 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
x^2 - 12x - 28 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 12 pm raiz(-12)^2 - 4 cdot 1 cdot (-28)2 cdot 1
x = 12 pm raiz144 + 1122
x = 12 pm raiz2562
x = 12 pm 162

Passo 8

Isso nos dá duas soluções:
x = 12 + 162 = 14
x = 12 - 162 = -2

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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