Seja uma base de . Para qual valor de os vetores e são paralelos a um mesmo plano do espaço?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer saber para quais valores de os vetores , e são paralelos ao mesmo plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e planos no , além de utilizar determinantes para verificar se os vetores são coplanares.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que três vetores são coplanares (ou seja, todos estão no mesmo plano) se o determinante formado por eles for igual a zero. Isso significa que a combinação linear desses vetores não gera volume, indicando que eles estão todos em um mesmo plano.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com os vetores , e como colunas:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. O determinante é dado por:
Passo 5
Simplificando os cálculos:
Passo 6
Para os vetores serem coplanares, o determinante deve ser zero:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: