Seja
uma matriz quadrada, mostre que:
(a) Se
é idempotente então,
ou
(b) Se
é nilpotente então
.
© Se
é anti-simétrica e de ordem ímpar, então
.
(d) Se
é invertível, então
também é invertível e
.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos uma matriz quadrada
e precisamos mostrar algumas propriedades relacionadas ao determinante dessa matriz em diferentes condições. Vamos precisar entender conceitos como matrizes idempotentes, nilpotentes, anti-simétricas e matrizes adjuntas. Para resolver, vamos usar propriedades de determinantes e algumas características específicas dessas matrizes.
Passo 2
Parte (a): Se
é idempotente, então
ou
.
Primeiro, uma matriz
é chamada de idempotente se ela satisfaz
. Queremos descobrir o determinante de
nessas condições.
Sabemos que para qualquer matriz quadrada,
. Como
é idempotente,
, então:
Isso nos dá a equação:
Resolvendo essa equação:
Portanto,
ou
.
Parte (b): Se
é nilpotente, então
.
Uma matriz
é nilpotente se existe um inteiro
tal que
. Queremos mostrar que
.
Sabemos que para uma matriz nilpotente, todos os seus autovalores são zero. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Portanto, se todos os autovalores são zero, o determinante também será zero.
Parte ©: Se
é anti-simétrica e de ordem ímpar, então
.
Uma matriz
é anti-simétrica se
, onde
é a transposta de
. Vamos ver o que isso implica para o determinante quando a ordem da matriz é ímpar.
Tomando o determinante dos dois lados da equação
:
Sabemos que
e
, onde
é a ordem da matriz. Como
é ímpar:
Isso implica que
, o que só é possível se
.
Parte (d): Se
é invertível, então
também é invertível e
.
Primeiro, lembramos que a matriz adjunta
é definida como o produto do determinante de
pelas matrizes dos co-fatores de
. Se
é invertível,
.
Sabemos que:
Isso implica que
. Como
é invertível e
,
também será invertível. A inversa de
pode ser encontrada isolando
:
Resposta
(a)
ou
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta
que é perpendicular à reta
e passa por
, nos casos:
;
Determine
de modo que sejam perpendiculares a retas
e
. R :
ou
Seja
uma base de
. Para qual valor de
os vetores
e
são paralelos a um mesmo plano do espaço?
Considere a equação matricial
, onde
e
são matrizes invertíveis
(a) Determine em função de
e
.
(b) Calcule , se
(a) Determine
(b) Calcule