Seja uma matriz quadrada, mostre que:
(a) Se é idempotente então, ou
(b) Se é nilpotente então .
© Se é anti-simétrica e de ordem ímpar, então .
(d) Se é invertível, então também é invertível e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos uma matriz quadrada e precisamos mostrar algumas propriedades relacionadas ao determinante dessa matriz em diferentes condições. Vamos precisar entender conceitos como matrizes idempotentes, nilpotentes, anti-simétricas e matrizes adjuntas. Para resolver, vamos usar propriedades de determinantes e algumas características específicas dessas matrizes.

Passo 2

Parte (a): Se é idempotente, então ou .

Primeiro, uma matriz é chamada de idempotente se ela satisfaz . Queremos descobrir o determinante de nessas condições.
Sabemos que para qualquer matriz quadrada, . Como é idempotente, , então:
Isso nos dá a equação:
Resolvendo essa equação:
Portanto, ou .

Parte (b): Se é nilpotente, então .

Uma matriz é nilpotente se existe um inteiro tal que . Queremos mostrar que .
Sabemos que para uma matriz nilpotente, todos os seus autovalores são zero. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Portanto, se todos os autovalores são zero, o determinante também será zero.

Parte ©: Se é anti-simétrica e de ordem ímpar, então .

Uma matriz é anti-simétrica se , onde é a transposta de . Vamos ver o que isso implica para o determinante quando a ordem da matriz é ímpar.
Tomando o determinante dos dois lados da equação :
Sabemos que e , onde é a ordem da matriz. Como é ímpar:
Isso implica que , o que só é possível se .

Parte (d): Se é invertível, então também é invertível e .

Primeiro, lembramos que a matriz adjunta é definida como o produto do determinante de pelas matrizes dos co-fatores de . Se é invertível, .
Sabemos que:
Isso implica que . Como é invertível e , também será invertível. A inversa de pode ser encontrada isolando :

Resposta

(a) ou
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta que é perpendicular à reta e passa por , nos casos: ;
Determine de modo que sejam perpendiculares a retas e . R : ou
Seja uma base de . Para qual valor de os vetores e são paralelos a um mesmo plano do espaço?
Considere a equação matricial , onde e são matrizes invertíveis
(a) Determine em função de e .
(b) Calcule , se