Seja A uma matriz quadrada, mostre que:
(a) Se A é idempotente então, det A=1 ou det A=0
(b) Se A é nilpotente então det A=0.
© Se A é anti-simétrica e de ordem ímpar, então det(A)=0.
(d) Se A é invertível, então adj(A) também é invertível e (adj(A))^-1=1det A A.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos uma matriz quadrada e precisamos mostrar algumas propriedades relacionadas ao determinante dessa matriz em diferentes condições. Vamos precisar entender conceitos como matrizes idempotentes, nilpotentes, anti-simétricas e matrizes adjuntas. Para resolver, vamos usar propriedades de determinantes e algumas características específicas dessas matrizes.

Passo 2

Parte (a): Se det(A) = det(A^2) = (det A)^2 é idempotente, então det A = (det A)^2 ou (det A)^2 - det A = 0 det A (det A - 1) = 0 .

Primeiro, uma matriz det(A^T) = det(-A) é chamada de idempotente se ela satisfaz det(A) = (-1)^n det(A) = -det(A) . Queremos descobrir o determinante de A^-1 = 1det A adj(A) nessas condições.
Sabemos que para qualquer matriz quadrada, (adj(A))^-1 = 1det A A . Como é idempotente, , então:
Isso nos dá a equação:
Resolvendo essa equação:
Portanto, ou .

Parte (b): Se é nilpotente, então .

Uma matriz é nilpotente se existe um inteiro tal que . Queremos mostrar que .
Sabemos que para uma matriz nilpotente, todos os seus autovalores são zero. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Portanto, se todos os autovalores são zero, o determinante também será zero.

Parte ©: Se é anti-simétrica e de ordem ímpar, então .

Uma matriz é anti-simétrica se , onde é a transposta de . Vamos ver o que isso implica para o determinante quando a ordem da matriz é ímpar.
Tomando o determinante dos dois lados da equação :
Sabemos que e , onde é a ordem da matriz. Como é ímpar:
Isso implica que , o que só é possível se .

Parte (d): Se é invertível, então também é invertível e .

Primeiro, lembramos que a matriz adjunta é definida como o produto do determinante de pelas matrizes dos co-fatores de . Se é invertível, .
Sabemos que:
Isso implica que . Como é invertível e , também será invertível. A inversa de pode ser encontrada isolando :

Resposta

(a) ou
(b)
©
(d)

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