Seja beta=v1, v2, v3 uma base de R^3 e A uma matriz 3 times 3 tal que
A v1=4 v1, A v2=v1-4 v3 e A v3=v1-2 v3
Se M=[v1 v2 v3], então:
(A) M A=[rrr4 & 0 & 0 1 & 0 & -4 1 & 0 & -2] M
(B) A M=M[rrr4 & -4 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1]
© A M=M[rrr4 & 0 & 0 1 & 0 & -4 1 & 0 & -2]
(D) M A=[rrr4 & 1 & 1 0 & -4 & -2 0 & 0 & 0] M
(E) M A=[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2] M
(F) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2]
(G) M A=[rrr4 & -4 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1] M
(H) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & -4 & -2 0 & 0 & 0]
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar qual das alternativas (A a I) está correta em relação à matriz e à base de . A gente vai precisar entender como a matriz atua nessa base e como isso se relaciona com a matriz . Vamos usar conceitos de matrizes de mudança de base e transformação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma base A vj = sumi=1^3 [A]ij vi para j = 1, 2, 3 , podemos representar a matriz nessa base. Isso significa que queremos encontrar a matriz tal que:
Ou seja, cada coluna de representa como transforma cada vetor da base .

Passo 3

Vamos analisar cada uma das transformações dadas:
Isso significa que a primeira coluna de é , já que só tem componente na direção de .
Aqui, a segunda coluna de será , indicando que tem componente 1 na direção de e -4 na direção de .
Da mesma forma, a terceira coluna de é , mostrando que tem componente 1 na direção de e -2 na direção de .

Passo 4

Então, a matriz [A]beta = 4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2 fica assim:

Passo 5

Agora, sabemos que a relação entre a matriz A M = M [A]beta e a matriz é dada por:
Isso significa que multiplicar pela matriz à direita é o mesmo que multiplicar pela matriz à direita.

Passo 6

Vamos comparar a matriz 4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2 que encontramos com as alternativas fornecidas. A matriz que a gente encontrou é:
A M = M 4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2
Olhando as opções, a alternativa (F) diz:

Resposta

A alternativa correta é a (F).

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