Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2, u=(7,-2) e v=(-2,1). Se as coordenadas na base beta destes vetores são [u]beta=(4,1) e [v]beta=(1,1), então b2 é:
(A) [r* -3]
(B) [r* -2]
© [r* -5]
(D) [l* 0]
(E) [r* -1]
(F) [l* 2]
(G) [l* 1]
(H) [r* -4]
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre bases no espaço vetorial R^2. A gente tem dois vetores u e v cujas coordenadas na base beta = b1, b2 são dadas. Nosso objetivo é descobrir qual é a segunda coordenada do vetor b2. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas em uma base funcionam e usar um pouquinho de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, para os vetores u e v temos:
u = a b1 + b b2
v = c b1 + d b2
Aqui, os números a, b, c, d são as coordenadas de u e v na base beta. De acordo com o enunciado, sabemos que:
[u]beta = (4, 1) implies a = 4 e b = 1
[v]beta = (1, 1) implies c = 1 e d = 1

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores nas equações das combinações lineares:
u = 4 b1 + 1 b2
v = 1 b1 + 1 b2
Sabemos também que os vetores u e v são:
u = (7, -2)
v = (-2, 1)

Passo 4

Vamos agora escrever essas equações em termos das componentes dos vetores. Se b1 = (x1, y1) e b2 = (x2, y2), então:
4(x1, y1) + 1(x2, y2) = (7, -2)
1(x1, y1) + 1(x2, y2) = (-2, 1)
Isso nos dá um sistema de equações:
4x1 + x2 = 7 (1)
4y1 + y2 = -2 (2)
x1 + x2 = -2 (3)
y1 + y2 = 1 (4)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar y2, que é a segunda coordenada de b2. Primeiro, da equação (4):
y1 + y2 = 1 implies y1 = 1 - y2
Substituindo y1 na equação (2):
4(1 - y2) + y2 = -2
4 - 4y2 + y2 = -2
4 - 3y2 = -2
-3y2 = -6
y2 = 2

Resposta

A segunda coordenada de b2 é 2, portanto a alternativa correta é:
(F) [l* 2]

Exercícios relacionados

Seja T(x1, x2, x3, x4)=(x1+2 x2-2 x3-2 x4, -2 x1-x2+2 x3+5 x4, -2 x1-x2-x3+6 x4).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 2
(B) 4
© 0
(D) 3
(E) 1
(F) Não sei
Seja beta=v1, v2, v3 uma base de R^3 e A uma matriz 3 times 3 tal que
A v1=4 v1, A v2=v1-4 v3 e A v3=v1-2 v3
Se M=[v1 v2 v3], então:
(A) M A=[rrr4 & 0 & 0 1 & 0 & -4 1 & 0 & -2] M
(B) A M=M[rrr4 & -4 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1]
© A M=M[rrr4 & 0 & 0 1 & 0 & -4 1 & 0 & -2]
(D) M A=[rrr4 & 1 & 1 0 & -4 & -2 0 & 0 & 0] M
(E) M A=[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2] M
(F) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2]
(G) M A=[rrr4 & -4 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1] M
(H) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & -4 & -2 0 & 0 & 0]
(I) Não sei
Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1,
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [3,10], considere a seguinte malha: x0=3, x1=4, x2=6 e x3=10. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e ( xi, yi ) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -13 & 14 & 112 & 0 0 & -328 & -112 & 421 0 & 0 & -13 & 13]
(B) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -34 & 23 & 112 & 0 0 & -421 & 112 & 328 0 & 0 & -14 & 14]
© [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -12 & 0 & 12 & 0 0 & -45 & 34 & 120 0 & 0 & -14 & 14]
(D) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -16 & -12 & 23 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13]
(E) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -23 & 12 & 16 & 0 0 & -13 & 14 & 112 0 & 0 & -14 & 14]
(F) Não sei
Sejam v=(14,1,3,4) e
H=(x, y, z, w) in R^4 mid x+3 y-2 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H.
O valor de w3, a 3^ a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei