Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2, u=(7,-2) e v=(-2,1). Se as coordenadas na base beta destes vetores são [u]beta=(4,1) e [v]beta=(1,1), então b2 é:
(A) [r* -3]
(B) [r* -2]
© [r* -5]
(D) [l* 0]
(E) [r* -1]
(F) [l* 2]
(G) [l* 1]
(H) [r* -4]
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre bases no espaço vetorial R^2. A gente tem dois vetores u e v cujas coordenadas na base beta = b1, b2 são dadas. Nosso objetivo é descobrir qual é a segunda coordenada do vetor b2. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas em uma base funcionam e usar um pouquinho de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, para os vetores u e v temos:
u = a b1 + b b2
v = c b1 + d b2
Aqui, os números a, b, c, d são as coordenadas de u e v na base beta. De acordo com o enunciado, sabemos que:
[u]beta = (4, 1) implies a = 4 e b = 1
[v]beta = (1, 1) implies c = 1 e d = 1

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores nas equações das combinações lineares:
u = 4 b1 + 1 b2
v = 1 b1 + 1 b2
Sabemos também que os vetores u e v são:
u = (7, -2)
v = (-2, 1)

Passo 4

Vamos agora escrever essas equações em termos das componentes dos vetores. Se b1 = (x1, y1) e b2 = (x2, y2), então:
4(x1, y1) + 1(x2, y2) = (7, -2)
1(x1, y1) + 1(x2, y2) = (-2, 1)
Isso nos dá um sistema de equações:
4x1 + x2 = 7 (1)
4y1 + y2 = -2 (2)
x1 + x2 = -2 (3)
y1 + y2 = 1 (4)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar y2, que é a segunda coordenada de b2. Primeiro, da equação (4):
y1 + y2 = 1 implies y1 = 1 - y2
Substituindo y1 na equação (2):
4(1 - y2) + y2 = -2
4 - 4y2 + y2 = -2
4 - 3y2 = -2
-3y2 = -6
y2 = 2

Resposta

A segunda coordenada de b2 é 2, portanto a alternativa correta é:
(F) [l* 2]

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