Então, temos uma transformação linear definida por:
O objetivo é descobrir a dimensão da imagem de , que basicamente nos diz quantas direções diferentes o espaço de saída está sendo “preenchido” pela transformação . Para isso, vamos precisar analisar a matriz associada a e encontrar o seu posto (ou rank), que é a dimensão da imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz que representa a transformação . Cada coluna de corresponde aos coeficientes de nas equações de :
Agora, precisamos descobrir o posto dessa matriz, ou seja, quantas linhas independentes ela tem.
Passo 3
Para encontrar o posto da matriz R2 = R2 + 2R1 Rightarrow [-2 + 2(1), -1 + 2(2), 2 + 2(-2), 5 + 2(-2)] = [0, 3, -2, 1] , vamos realizar operações elementares de linha para transformar R3 = R3 + 2R1 Rightarrow [-2 + 2(1), -1 + 2(2), -1 + 2(-2), 6 + 2(-2)] = [0, 3, -5, 2] em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada.
Primeira operação: Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está ok). Agora, vamos zerar os elementos abaixo dele:
Adicionar 2 vezes a primeira linha à segunda linha: 1 & 2 & -2 & -2 0 & 3 & -2 & 1 0 & 3 & -5 & 2
Adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha: R3 = R3 - R2 Rightarrow [0 - 0, 3 - 3, -5 - (-2), 2 - 1] = [0, 0, -3, 1]
A matriz agora fica:
1 & 2 & -2 & -2 0 & 3 & -2 & 1 0 & 0 & -3 & 1
Segunda operação: Vamos zerar o elemento abaixo do 3 na segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira:
A matriz agora fica:
Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos contar o número de linhas que têm pelo menos um elemento não-zero. Aqui, todas as três linhas têm elementos não-zero, então o posto da matriz é 3.