Seja T(x1, x2, x3, x4)=(x1+2 x2-2 x3-2 x4, -2 x1-x2+2 x3+5 x4, -2 x1-x2-x3+6 x4).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 2
(B) 4
© 0
(D) 3
(E) 1
(F) Não sei

Passo 1

Então, temos uma transformação linear T(x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 - 2x3 - 2x4, -2x1 - x2 + 2x3 + 5x4, -2x1 - x2 - x3 + 6x4) definida por:
O objetivo é descobrir a dimensão da imagem de , que basicamente nos diz quantas direções diferentes o espaço de saída está sendo “preenchido” pela transformação . Para isso, vamos precisar analisar a matriz associada a e encontrar o seu posto (ou rank), que é a dimensão da imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A = 1 & 2 & -2 & -2 -2 & -1 & 2 & 5 -2 & -1 & -1 & 6 que representa a transformação . Cada coluna de corresponde aos coeficientes de nas equações de :
Agora, precisamos descobrir o posto dessa matriz, ou seja, quantas linhas independentes ela tem.

Passo 3

Para encontrar o posto da matriz R2 = R2 + 2R1 Rightarrow [-2 + 2(1), -1 + 2(2), 2 + 2(-2), 5 + 2(-2)] = [0, 3, -2, 1] , vamos realizar operações elementares de linha para transformar R3 = R3 + 2R1 Rightarrow [-2 + 2(1), -1 + 2(2), -1 + 2(-2), 6 + 2(-2)] = [0, 3, -5, 2] em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada.
  1. Primeira operação: Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está ok). Agora, vamos zerar os elementos abaixo dele:
    • Adicionar 2 vezes a primeira linha à segunda linha: 1 & 2 & -2 & -2 0 & 3 & -2 & 1 0 & 3 & -5 & 2
    • Adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha: R3 = R3 - R2 Rightarrow [0 - 0, 3 - 3, -5 - (-2), 2 - 1] = [0, 0, -3, 1]
    A matriz agora fica:
    1 & 2 & -2 & -2 0 & 3 & -2 & 1 0 & 0 & -3 & 1
  2. Segunda operação: Vamos zerar o elemento abaixo do 3 na segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira:
    A matriz agora fica:
Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos contar o número de linhas que têm pelo menos um elemento não-zero. Aqui, todas as três linhas têm elementos não-zero, então o posto da matriz é 3.

Resposta

A dimensão da imagem de é 3.

Exercícios relacionados