Seja T(x1, x2, x3, x4)=(x1+2 x2-2 x3-2 x4, -2 x1-x2+2 x3+5 x4, -2 x1-x2-x3+6 x4).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 2
(B) 4
© 0
(D) 3
(E) 1
(F) Não sei

Passo 1

Então, temos uma transformação linear T(x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 - 2x3 - 2x4, -2x1 - x2 + 2x3 + 5x4, -2x1 - x2 - x3 + 6x4) definida por:
O objetivo é descobrir a dimensão da imagem de , que basicamente nos diz quantas direções diferentes o espaço de saída está sendo “preenchido” pela transformação . Para isso, vamos precisar analisar a matriz associada a e encontrar o seu posto (ou rank), que é a dimensão da imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A = 1 & 2 & -2 & -2 -2 & -1 & 2 & 5 -2 & -1 & -1 & 6 que representa a transformação . Cada coluna de corresponde aos coeficientes de nas equações de :
Agora, precisamos descobrir o posto dessa matriz, ou seja, quantas linhas independentes ela tem.

Passo 3

Para encontrar o posto da matriz R2 = R2 + 2R1 Rightarrow [-2 + 2(1), -1 + 2(2), 2 + 2(-2), 5 + 2(-2)] = [0, 3, -2, 1] , vamos realizar operações elementares de linha para transformar R3 = R3 + 2R1 Rightarrow [-2 + 2(1), -1 + 2(2), -1 + 2(-2), 6 + 2(-2)] = [0, 3, -5, 2] em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada.
  1. Primeira operação: Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está ok). Agora, vamos zerar os elementos abaixo dele:
    • Adicionar 2 vezes a primeira linha à segunda linha: 1 & 2 & -2 & -2 0 & 3 & -2 & 1 0 & 3 & -5 & 2
    • Adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha: R3 = R3 - R2 Rightarrow [0 - 0, 3 - 3, -5 - (-2), 2 - 1] = [0, 0, -3, 1]
    A matriz agora fica:
    1 & 2 & -2 & -2 0 & 3 & -2 & 1 0 & 0 & -3 & 1
  2. Segunda operação: Vamos zerar o elemento abaixo do 3 na segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira:
    A matriz agora fica:
Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos contar o número de linhas que têm pelo menos um elemento não-zero. Aqui, todas as três linhas têm elementos não-zero, então o posto da matriz é 3.

Resposta

A dimensão da imagem de é 3.

Exercícios relacionados

Seja beta=v1, v2, v3 uma base de R^3 e A uma matriz 3 times 3 tal que
A v1=4 v1, A v2=v1-4 v3 e A v3=v1-2 v3
Se M=[v1 v2 v3], então:
(A) M A=[rrr4 & 0 & 0 1 & 0 & -4 1 & 0 & -2] M
(B) A M=M[rrr4 & -4 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1]
© A M=M[rrr4 & 0 & 0 1 & 0 & -4 1 & 0 & -2]
(D) M A=[rrr4 & 1 & 1 0 & -4 & -2 0 & 0 & 0] M
(E) M A=[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2] M
(F) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -4 & -2]
(G) M A=[rrr4 & -4 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1] M
(H) A M=M[rrr4 & 1 & 1 0 & -4 & -2 0 & 0 & 0]
(I) Não sei
Seja T: R^2 R^3 a transformação linear que satisfaz: T(2,3)=(-1,-3,-3) e T(1,1)=(-2,-2,-3).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A[lx y].
A entrada a12 da matriz A vale:
(A) -1
(B) 0
© 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
(I) Não sei
Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2, u=(7,-2) e v=(-2,1). Se as coordenadas na base beta destes vetores são [u]beta=(4,1) e [v]beta=(1,1), então b2 é:
(A) [r* -3]
(B) [r* -2]
© [r* -5]
(D) [l* 0]
(E) [r* -1]
(F) [l* 2]
(G) [l* 1]
(H) [r* -4]
(I) Não sei
Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1,
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [3,10], considere a seguinte malha: x0=3, x1=4, x2=6 e x3=10. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e ( xi, yi ) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -13 & 14 & 112 & 0 0 & -328 & -112 & 421 0 & 0 & -13 & 13]
(B) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -34 & 23 & 112 & 0 0 & -421 & 112 & 328 0 & 0 & -14 & 14]
© [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -12 & 0 & 12 & 0 0 & -45 & 34 & 120 0 & 0 & -14 & 14]
(D) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -16 & -12 & 23 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13]
(E) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -23 & 12 & 16 & 0 0 & -13 & 14 & 112 0 & 0 & -14 & 14]
(F) Não sei