Seja beta=v1, cdots, vn uma base ortonormal de um espaço vetorial V.
Mostre que, se v=c1 v1+cdots cn vn e w=d1 v1+cdots dn vn, então lang<= v, wrang<==c1 d1+cdots+cn dn;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma base ortonormal de um espaço vetorial . Temos dois vetores, e , expressos como combinações lineares dessa base. A matéria que vamos usar aqui é Produto Interno (ou Produto Escalar) e Bases Ortonormais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto interno entre dois vetores quando eles são escritos em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base lang<= vi, vj rang<= = 1 & se i = j, 0 & se i neq j é ortonormal se os vetores são todos de comprimento 1 (norma igual a 1) e são ortogonais entre si (o produto interno entre vetores diferentes é zero). Ou seja, para todo e :

Passo 3

Agora, vamos escrever os vetores v = c1 v1 + c2 v2 + cdots + cn vn, e w = d1 v1 + d2 v2 + cdots + dn vn em termos da base :
Aqui, e são os coeficientes escalares que representam e nessa base.

Passo 4

Vamos calcular o produto interno lang<= v, w rang<= = lang<= sumi=1^n ci vi, sumj=1^n dj vj rang<= . Substituindo as expressões de lang<= v, w rang<= = sumi=1^n sumj=1^n ci dj lang<= vi, vj rang<= e :
Usando a propriedade distributiva do produto interno:

Passo 5

Lembrando que a base lang<= v, w rang<= = sumi=1^n ci di é ortonormal, sabemos que é 1 quando e 0 quando . Portanto, todos os termos onde desaparecem, restando apenas:

Resposta

lang<= v, w rang<= = c1 d1 + c2 d2 + cdots + cn dn = sumi=1^n ci di

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