Seja
uma base ortonormal de um espaço vetorial
.
Mostre que, se
e
, então
;
Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma base ortonormal
de um espaço vetorial
. Temos dois vetores,
e
, expressos como combinações lineares dessa base. A matéria que vamos usar aqui é Produto Interno (ou Produto Escalar) e Bases Ortonormais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto interno entre dois vetores quando eles são escritos em uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base
é ortonormal se os vetores são todos de comprimento 1 (norma igual a 1) e são ortogonais entre si (o produto interno entre vetores diferentes é zero). Ou seja, para todo
e
:
Passo 3
Agora, vamos escrever os vetores
e
em termos da base
:
Aqui,
e
são os coeficientes escalares que representam
e
nessa base.
Passo 4
Vamos calcular o produto interno
. Substituindo as expressões de
e
:
Usando a propriedade distributiva do produto interno:
Passo 5
Lembrando que a base
é ortonormal, sabemos que
é 1 quando
e 0 quando
. Portanto, todos os termos onde
desaparecem, restando apenas: