Seja a circunferência de raio 2 , em , com centro na origem, orientada no sentido anti-horário. Avalie a seguinte integral de linha:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência de raio 2, centrada na origem do plano , e ela está orientada no sentido anti-horário. A questão pede para calcular a integral de linha:
Esse tipo de integral pertence à matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a circunferência e aplicar as fórmulas de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência . Como ela tem raio 2 e está centrada na origem, uma boa parametrização em termos de um parâmetro que varia de 0 a é:
Isso significa que, à medida que varia de 0 a , percorremos toda a circunferência uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de . Vamos derivar e em relação a :

Passo 4

Substituímos , , e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo.
Para o primeiro termo:
Podemos usar a identidade , então:
Sabemos que:
E:
Portanto, o primeiro termo da integral é 0.
Para o segundo termo:
Sabemos que:
Então, o segundo termo também é 0.

Resposta

A integral de linha vale 0.

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(a) , onde é a função impulso unitário.
Responda detalhadamente as questões abaixo:
© Quais são as aplicações relevantes da transformada de Fourier na Engenharia Mecânica?
Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(b)
Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
©