Seja
a circunferência de raio 2 , em
, com centro na origem, orientada no sentido anti-horário. Avalie a seguinte integral de linha:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência
de raio 2, centrada na origem do plano
, e ela está orientada no sentido anti-horário. A questão pede para calcular a integral de linha:
Esse tipo de integral pertence à matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a circunferência e aplicar as fórmulas de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência
. Como ela tem raio 2 e está centrada na origem, uma boa parametrização em termos de um parâmetro
que varia de 0 a
é:
Isso significa que, à medida que
varia de 0 a
, percorremos toda a circunferência uma vez no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
. Vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo.
Para o primeiro termo:
Podemos usar a identidade
, então:
Sabemos que:
E:
Portanto, o primeiro termo da integral é 0.
Para o segundo termo:
Sabemos que:
Então, o segundo termo também é 0.
Resposta
A integral de linha vale 0.
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Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(a) , onde
é a função impulso unitário.
(a)
Responda detalhadamente as questões abaixo:
© Quais são as aplicações relevantes da transformada de Fourier na Engenharia Mecânica?
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Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(b)
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©
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