Seja C a circunferência de raio 2 , em R^2, com centro na origem, orientada no sentido anti-horário. Avalie a seguinte integral de linha: integralC 8 y x d x+4 x^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência integralC 8xy,dx + 4x^2,dy de raio 2, centrada na origem do plano , e ela está orientada no sentido anti-horário. A questão pede para calcular a integral de linha:
Esse tipo de integral pertence à matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a circunferência e aplicar as fórmulas de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência x = 2costheta . Como ela tem raio 2 e está centrada na origem, uma boa parametrização em termos de um parâmetro y = 2sintheta que varia de 0 a é:
Isso significa que, à medida que varia de 0 a , percorremos toda a circunferência uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx = dxdtheta dtheta = -2sintheta, dtheta e dy = dydtheta dtheta = 2costheta, dtheta em termos de . Vamos derivar e em relação a :

Passo 4

Substituímos integralC 8xy,dx + 4x^2,dy = integral0^2pi [8(2costheta)(2sintheta)(-2sintheta) + 4(2costheta)^2(2costheta)] dtheta , , e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Primeiro termo:
8 cdot 2costheta cdot 2sintheta cdot (-2sintheta) = -64 costheta sin^2theta
Segundo termo:
4 cdot (2costheta)^2 cdot 2costheta = 32 cos^3theta
Então, a integral fica:
integral0^2pi ( -64 costheta sin^2theta + 32 cos^3theta ) dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo.
Para o primeiro termo:
integral0^2pi -64 costheta sin^2theta, dtheta
Podemos usar a identidade -64 integral0^2pi costheta (1 - cos^2theta) dtheta = -64 [ integral0^2pi costheta, dtheta - integral0^2pi cos^3theta, dtheta ] , então:
integral0^2pi costheta, dtheta = 0
Sabemos que:
integral0^2pi cos^3theta, dtheta = 0
E:
integral0^2pi 32 cos^3theta, dtheta
Portanto, o primeiro termo da integral é 0.
Para o segundo termo:
integral0^2pi cos^3theta, dtheta = 0
Sabemos que:
Então, o segundo termo também é 0.

Resposta

A integral de linha vale 0.

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