Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a transformada de Fourier do sinal
usando a equação (1.1), que geralmente é a definição da transformada de Fourier. Então, na prática, vamos transformar esse sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar lembrar de como a transformada de Fourier funciona e das propriedades das funções seno em termos de exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de um sinal
é dada por:
Onde:
-
é a transformada de Fourier de . -
é a frequência angular. -
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função seno em termos de exponenciais complexas. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso sinal
:
Passo 4
Vamos agora calcular a transformada de Fourier de cada termo separadamente. Usando a linearidade da transformada de Fourier, temos:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Sabemos que a integral de
sobre todos os tempos resulta em uma função delta de Dirac:
Aplicando isso às integrais que temos:
Passo 6
Simplificando os termos:
Observando que
, podemos reescrever:
Resposta
A transformada de Fourier do sinal
é: