Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
© x(t) = sen(3 * omega_0 * t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a transformada de Fourier do sinal usando a equação (1.1), que geralmente é a definição da transformada de Fourier. Então, na prática, vamos transformar esse sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar lembrar de como a transformada de Fourier funciona e das propriedades das funções seno em termos de exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de um sinal é dada por:
Onde:
  • é a transformada de Fourier de .
  • é a frequência angular.
  • é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos expressar a função seno em termos de exponenciais complexas. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso sinal :

Passo 4

Vamos agora calcular a transformada de Fourier de cada termo separadamente. Usando a linearidade da transformada de Fourier, temos:
Simplificando os expoentes:

Passo 5

Sabemos que a integral de sobre todos os tempos resulta em uma função delta de Dirac:
Aplicando isso às integrais que temos:

Passo 6

Simplificando os termos:
Observando que , podemos reescrever:

Resposta

A transformada de Fourier do sinal é:

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