Seja C a curva dada pela interseção entre o plano x+z=1 e o cilindro x^2+y^2=1, S a região do plano x+z=1 limitada pelo cilindro, com orientação acendente. F(x, y)=y i+z j+2 k. Calcule as integrais: ointC F cdot d r, integral duplaS rot F cdot d S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva C que é a interseção entre o plano x + z = 1 e o cilindro x^2 + y^2 = 1. Além disso, temos uma superfície S no plano x + z = 1, limitada por esse cilindro, com orientação ascendente. A função vetorial é F(x, y) = y i + z j + 2 k. Precisamos calcular duas integrais: o contorno de F ao longo de C e a integral dupla do rotacional de F sobre S. Vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente do teorema de Stokes, que relaciona essas duas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F, que é rot F. O rotacional é dado por:
rot F = nabla times F
Vamos calcular isso:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y & z & 2
Calculando o determinante:
rot F = ( partial 2partial y - partial zpartial z ) i - ( partial 2partial x - partial ypartial z ) j + ( partial zpartial x - partial ypartial y ) k
Simplificando:
rot F = (0 - 1) i - (0 - 0) j + (0 - 1) k = -i - k

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes, que diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS rot F cdot dS
Isso significa que a integral de linha de F ao longo de C é igual à integral dupla do rotacional de F sobre a superfície S. Vamos calcular a integral dupla.

Passo 4

Para calcular a integral dupla, precisamos parametrizar a superfície S. O plano é x + z = 1, então podemos resolver para z:
z = 1 - x
A região S é limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 1. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares no plano x- y. Assim, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = 1 - r cos theta
Aqui, r varia de 0 a 1 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

O vetor normal à superfície S pode ser encontrado a partir do gradiente do plano x + z = 1. O gradiente é nabla (x + z) = i + k. Como a orientação é ascendente, o vetor normal é n = i + k.
Agora, a diferencial de área dS é dada por:
dS = n , dA = (i + k) , r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, calculamos:
integral duplaS rot F cdot dS = integral duplaS (-i - k) cdot (i + k) , r , dr , dtheta
Fazendo o produto escalar:
(-i - k) cdot (i + k) = (-1)(1) + (-1)(1) = -2
Então, a integral fica:
-2 integral duplaS r , dr , dtheta

Passo 7

Integrando em coordenadas polares:
-2 integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta = -2 integral0^2pi [ 12 r^2 ]0^1 dtheta = -2 integral0^2pi 12 dtheta = -integral0^2pi dtheta = -2pi

Passo 8

Pelo teorema de Stokes, temos que ointC F cdot dr = -2pi. Portanto, a integral de linha é igual a -2pi e a integral dupla do rotacional é também -2pi.

Resposta

Ambas as integrais são iguais a -2pi.

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