Seja a curva dada pela interseção entre o plano e o cilindro a região do plano limitada pelo cilindro, com orientação acendente. . Calcule as integrais: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva que é a interseção entre o plano e o cilindro . Além disso, temos uma superfície no plano , limitada por esse cilindro, com orientação ascendente. A função vetorial é . Precisamos calcular duas integrais: o contorno de ao longo de e a integral dupla do rotacional de sobre . Vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente do teorema de Stokes, que relaciona essas duas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que é . O rotacional é dado por:
Vamos calcular isso:
Calculando o determinante:
rot F = ( partial 2partial y - partial zpartial z ) i - ( partial 2partial x - partial ypartial z ) j + ( partial zpartial x - partial ypartial y ) k
Simplificando:
rot F = (0 - 1) i - (0 - 0) j + (0 - 1) k = -i - k
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes, que diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS rot F cdot dS
Isso significa que a integral de linha de F ao longo de C é igual à integral dupla do rotacional de F sobre a superfície S. Vamos calcular a integral dupla.
Passo 4
Para calcular a integral dupla, precisamos parametrizar a superfície S. O plano é x + z = 1, então podemos resolver para z:
z = 1 - x
A região S é limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 1. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares no plano x-y. Assim, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = 1 - r cos theta
Aqui, r varia de 0 a 1 e theta varia de 0 a 2pi.
Passo 5
O vetor normal à superfície S pode ser encontrado a partir do gradiente do plano x + z = 1. O gradiente é nabla (x + z) = i + k. Como a orientação é ascendente, o vetor normal é n = i + k.
Agora, a diferencial de área dS é dada por:
dS = n , dA = (i + k) , r , dr , dtheta
Passo 6
Agora, calculamos:
integral duplaS rot F cdot dS = integral duplaS (-i - k) cdot (i + k) , r , dr , dtheta