Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
f(x) = -x^2 + 2x - 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função quadrática . O conteúdo aqui envolve funções do segundo grau, também conhecidas como parábolas. Vamos precisar encontrar as raízes da função, o vértice, o ponto de interseção com o eixo y, determinar se a função tem valor máximo ou mínimo, a concavidade da parábola e, por fim, esboçar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), não há raízes reais para essa função.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para as coordenadas do vértice é:
Substituindo:
Para encontrar , substituímos na função:
Então, o vértice está em .

Passo 4

Vamos buscar o ponto de interseção com o eixo y. Isso acontece quando . Substituindo na função:
Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é .

Passo 5

Agora, vamos determinar se a função tem um valor máximo ou mínimo. Observando o coeficiente de :
Como , a parábola tem concavidade para baixo, o que significa que o vértice representa um ponto de máximo.

Passo 6

Falando da concavidade da parábola, como já vimos, o coeficiente é negativo. Isso indica que a parábola é côncava para baixo.

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que a parábola tem concavidade para baixo, o vértice em , e corta o eixo y em . Como não há raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. Com essas informações, podemos desenhar a parábola posicionada de acordo com esses pontos.

Resposta

i) A função não possui raízes reais.
ii) As coordenadas do vértice são .
iii) O ponto de interseção com o eixo y é .
iv) A função possui um valor máximo.
v) A concavidade da parábola é para baixo.
vi) O esboço da função é uma parábola direcionada para baixo, com vértice em e interseção com o eixo y em .

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