Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função quadrática
. O conteúdo aqui envolve funções do segundo grau, também conhecidas como parábolas. Vamos precisar encontrar as raízes da função, o vértice, o ponto de interseção com o eixo y, determinar se a função tem valor máximo ou mínimo, a concavidade da parábola e, por fim, esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), não há raízes reais para essa função.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para as coordenadas do vértice
é:
Substituindo:
Para encontrar
, substituímos
na função:
Então, o vértice está em
.
Passo 4
Vamos buscar o ponto de interseção com o eixo y. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar se a função tem um valor máximo ou mínimo. Observando o coeficiente de
:
Como
, a parábola tem concavidade para baixo, o que significa que o vértice representa um ponto de máximo.
Passo 6
Falando da concavidade da parábola, como já vimos, o coeficiente
é negativo. Isso indica que a parábola é côncava para baixo.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que a parábola tem concavidade para baixo, o vértice em
, e corta o eixo y em
. Como não há raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. Com essas informações, podemos desenhar a parábola posicionada de acordo com esses pontos.
Resposta
i) A função não possui raízes reais.
ii) As coordenadas do vértice são .
iii) O ponto de interseção com o eixo y é .
iv) A função possui um valor máximo.
v) A concavidade da parábola é para baixo.
vi) O esboço da função é uma parábola direcionada para baixo, com vértice em e interseção com o eixo y em
.
ii) As coordenadas do vértice são
iii) O ponto de interseção com o eixo y é
iv) A função possui um valor máximo.
v) A concavidade da parábola é para baixo.
vi) O esboço da função é uma parábola direcionada para baixo, com vértice em