Calcule o limite das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular o limite de três funções quando
tende ao infinito. A gente vai trabalhar com limites no infinito, que é um conceito importante em cálculo para entender o comportamento de funções conforme a variável cresce sem limites. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer algumas regras de limites e propriedades de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da primeira função:
.
Aqui, temos
crescendo para o infinito multiplicado por
, que é a mesma coisa que
. Sabemos que a função exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial como
. Quando isso acontece, o quociente tende a zero. Então, aplicando essa propriedade:
Passo 3
Agora vamos para a segunda função:
.
Aqui, temos um quociente de polinômios. A regra geral para limites de polinômios quando
tende ao infinito é comparar os termos de maior grau. No numerador e no denominador, o termo
é o que domina. Podemos dividir todos os termos por
:
Portanto, o limite é
.
Passo 4
Finalmente, vamos calcular o limite da terceira função:
.
Primeiro, observe que quando
tende ao infinito,
tende a zero. Sabe-se que
é aproximadamente igual a
quando
está próximo de zero. Então, podemos aproximar
. Substituindo isso na expressão:
Portanto, o limite é 1.