Calcule o limite das seguintes funções. lim t infty(t e^-t, t^3+t2 t^3-1, t sen 1t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular o limite de três funções quando tende ao infinito. A gente vai trabalhar com limites no infinito, que é um conceito importante em cálculo para entender o comportamento de funções conforme a variável cresce sem limites. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer algumas regras de limites e propriedades de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira função: limt infty t e^-t = 0 .
Aqui, temos crescendo para o infinito multiplicado por , que é a mesma coisa que . Sabemos que a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial como . Quando isso acontece, o quociente tende a zero. Então, aplicando essa propriedade:

Passo 3

Agora vamos para a segunda função: limt infty t^3 + t2 t^3 -1 = limt infty 1 + 1t^22 - 1t^3 = 1 + 02 - 0 = 12 .
Aqui, temos um quociente de polinômios. A regra geral para limites de polinômios quando tende ao infinito é comparar os termos de maior grau. No numerador e no denominador, o termo é o que domina. Podemos dividir todos os termos por :
Portanto, o limite é .

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o limite da terceira função: t sin 1t approx t cdot 1t = 1 .
Primeiro, observe que quando tende ao infinito, tende a zero. Sabe-se que é aproximadamente igual a quando está próximo de zero. Então, podemos aproximar . Substituindo isso na expressão:
Portanto, o limite é 1.

Resposta

limt infty(t e^-t, t^3+t2 t^3-1, t sin 1t) = (0, 12, 1)

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