Seja
um número real e considere a função
dada por
. Mostre que se
, então o limite
não existe.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função racional definida por:
O objetivo é mostrar que, se
, o limite de
quando
se aproxima de 2 não existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a função
. Isso geralmente envolve fatorar o numerador para ver se podemos cancelar algum fator comum com o denominador. Vamos focar no numerador:
Podemos tentar fatorar esse polinômio agrupando termos:
Percebemos que
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado:
Então, o numerador fatorado fica:
Passo 3
Agora, reescrevemos a função
com o numerador fatorado:
Observamos que o fator
está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que
):
Passo 4
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 2:
Substituir
diretamente resulta em uma divisão por zero no denominador, o que sugere que o limite pode não existir ou ser infinito. Para investigar mais a fundo, vamos analisar o comportamento da função perto de
.
Passo 5
Considere o comportamento de
à medida que
se aproxima de 2:
-
Se
, o termo não se anula quando . Portanto, o numerador se aproxima de , que é um número diferente de zero. -
O denominador
se aproxima de zero.
Assim, a fração
tende a
dependendo do sinal, indicando que o limite não existe de forma finita.
Resposta
Portanto, se
, o limite
não existe porque a função tende a
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Dê um exemplo de duas funções
e
e de um número real
tais que
existe, mas
e
não existem.
Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Calcule
, onde
é o conjunto
.