Seja C um número real e considere a função f: R backslash2,3 R dada por f(x)=x^3-C x^2-9 x+9 C(x-2)(x-3). Mostre que se C neq 2, então o limite lim x 2 f(x) não existe.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função racional definida por:
f(x) = x^3 - C x^2 - 9x + 9 C(x - 2)(x - 3)
O objetivo é mostrar que, se , o limite de quando se aproxima de 2 não existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a função x^3 - C x^2 - 9x + 9 C . Isso geralmente envolve fatorar o numerador para ver se podemos cancelar algum fator comum com o denominador. Vamos focar no numerador:
x^3 - C x^2 - 9x + 9 C = x^2(x - C) - 9(x - C) = (x^2 - 9)(x - C)
Podemos tentar fatorar esse polinômio agrupando termos:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Percebemos que (x - 3)(x + 3)(x - C) é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado:
Então, o numerador fatorado fica:

Passo 3

Agora, reescrevemos a função f(x) = (x - 3)(x + 3)(x - C)(x - 2)(x - 3) com o numerador fatorado:
f(x) = (x + 3)(x - C)x - 2
Observamos que o fator está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que ):

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite de limx to 2 f(x) = limx to 2 (x + 3)(x - C)x - 2 quando se aproxima de 2:
Substituir diretamente resulta em uma divisão por zero no denominador, o que sugere que o limite pode não existir ou ser infinito. Para investigar mais a fundo, vamos analisar o comportamento da função perto de .

Passo 5

Considere o comportamento de à medida que se aproxima de 2:
  • Se , o termo não se anula quando . Portanto, o numerador se aproxima de , que é um número diferente de zero.
  • O denominador se aproxima de zero.
Assim, a fração úú tende a dependendo do sinal, indicando que o limite não existe de forma finita.

Resposta

Portanto, se , o limite não existe porque a função tende a .

Exercícios relacionados

Calcule integral0^1[integral0^x x raizx^2+3 y^2 d y] d x.
Dê um exemplo de duas funções f e g e de um número real x0 tais que lim x x0(f(x)+g(x)) existe, mas lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x) não existem.
Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por: y = 2/(1+x^2) ; y = x^2 ; x = 1 ; x = 2, em torno do eixo y.
Calcule integral duplaB x^2 d x d y, onde B é o conjunto x^2+4 y^2 <= 1.