Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por: y = 2/(1+x^2) ; y = x^2 ; x = 1 ; x = 2, em torno do eixo y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo a região limitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

O método das cascas cilíndricas é útil quando estamos girando em torno de um eixo vertical, como é o caso aqui. A ideia é imaginar a região dividida em finas “cascas” cilíndricas verticais. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura, e o volume de cada casca pode ser calculado e somado para obter o volume total.
A fórmula geral para o volume usando este método é:
onde:
  • é o raio da casca (a distância do eixo de rotação, que é o eixo ),
  • é a função que está “acima” na região,
  • é a função que está “abaixo” na região,
  • e são os limites de integração no eixo .

Passo 3

Vamos identificar as funções e que delimitam a região:
Estes são os limites vertical superior e inferior da região que vamos girar.

Passo 4

Os limites de integração são de a . Isso nos diz que vamos integrar de 1 a 2 no eixo .

Passo 5

Agora, substituímos essas funções e os limites na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, a integral de :
Fazendo uma substituição simples:
  • Seja , então .
Portanto, a integral se torna:
Segundo, a integral de :

Passo 8

Agora, substituímos as integrais de volta na expressão do volume:
Isso significa que precisamos avaliar a expressão nos limites de 1 a 2.

Passo 9

Vamos calcular nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

Portanto, o volume do sólido gerado é:

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Seja C um número real e considere a função f: R backslash2,3 R dada por f(x)=x^3-C x^2-9 x+9 C(x-2)(x-3). Mostre que se C neq 2, então o limite lim x 2 f(x) não existe.
Calcule integral0^1[integral0^x x raizx^2+3 y^2 d y] d x.
Calcule integral duplaB x^2 d x d y, onde B é o conjunto x^2+4 y^2 <= 1.
Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites: lim x 0 sen(5 x)-sen(3 x)x