Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
O método das cascas cilíndricas é útil quando estamos girando em torno de um eixo vertical, como é o caso aqui. A ideia é imaginar a região dividida em finas “cascas” cilíndricas verticais. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura, e o volume de cada casca pode ser calculado e somado para obter o volume total.
A fórmula geral para o volume
usando este método é:
onde:
-
é o raio da casca (a distância do eixo de rotação, que é o eixo ), -
é a função que está “acima” na região, -
é a função que está “abaixo” na região, -
e são os limites de integração no eixo .
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
que delimitam a região:
Estes são os limites vertical superior e inferior da região que vamos girar.
Passo 4
Os limites de integração são de
a
. Isso nos diz que vamos integrar de 1 a 2 no eixo
.
Passo 5
Agora, substituímos essas funções e os limites na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, a integral de
:
Fazendo uma substituição simples:
- Seja
, então .
Portanto, a integral se torna:
Segundo, a integral de
:
Passo 8
Agora, substituímos as integrais de volta na expressão do volume:
Isso significa que precisamos avaliar a expressão
nos limites de 1 a 2.
Passo 9
Vamos calcular nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
Portanto, o volume do sólido gerado é:
Exercícios relacionados
Seja
um número real e considere a função
dada por
. Mostre que se
, então o limite
não existe.
Calcule
.
Calcule
, onde
é o conjunto
.
Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites: