Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de Integrais Múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem raízes quadradas e também saber como manipular as integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja:
Note que, para essa parte, o
é tratado como uma constante, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos simplificar a integral interna. Podemos fazer uma substituição para facilitar o cálculo. Vamos definir:
Então,
. Mas isso não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem. Vamos fatorar o que está dentro da raiz:
Passo 4
Ainda na integral interna, substituímos a expressão simplificada:
Agora, fazemos uma mudança de variável para facilitar:
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, a integral interna passou a ser uma constante em relação a
, então podemos integrá-la separadamente.
Passo 6
Vamos chamar a integral de
:
Para resolver
, usamos uma substituição trigonométrica ou hiperbólica. Optaremos por uma substituição hiperbólica:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 7
A integral de
é conhecida:
Aplicando os limites:
Calculando:
Sabemos que
e
, então:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à integral original, temos:
Calculando a integral de
de 0 a 1:
Resposta
Finalmente, o valor da integral dupla é:
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de duas funções
e
e de um número real
tais que
existe, mas
e
não existem.
Uma partícula está se movendo ao longo da parábola
e sua velocidade escalar é constante. Encontre cada um dos seguintes, quando a partícula está em
; o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário,
e
.
Seja
um número real e considere a função
dada por
. Mostre que se
, então o limite
não existe.
Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.