Calcule integral0^1[integral0^x x raizx^2+3 y^2 d y] d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral dupla:
integral0^1[integral0^x x raizx^2+3 y^2 , dy] dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de Integrais Múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem raízes quadradas e também saber como manipular as integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja:
integral0^x x raizx^2+3 y^2 , dy
Note que, para essa parte, o é tratado como uma constante, já que estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos simplificar a integral interna. Podemos fazer uma substituição para facilitar o cálculo. Vamos definir:
u = y
Então, raizx^2 + 3y^2 = raizx^2(1 + 3y^2x^2) = x raiz1 + 3(yx)^2 . Mas isso não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem. Vamos fatorar o que está dentro da raiz:

Passo 4

Ainda na integral interna, substituímos a expressão simplificada:
integral0^x x cdot x raiz1 + 3(yx)^2 , dy = x^2 integral0^x raiz1 + 3(yx)^2 , dy
Agora, fazemos uma mudança de variável para facilitar:
t = yx Rightarrow y = x t Rightarrow dy = x , dt

Passo 5

Substituindo na integral:
x^2 integral0^1 raiz1 + 3t^2 cdot x , dt = x^3 integral0^1 raiz1 + 3t^2 , dt
Agora, a integral interna passou a ser uma constante em relação a , então podemos integrá-la separadamente.

Passo 6

Vamos chamar a integral de I = integral0^1 raiz1 + 3t^2 , dt :
t = 1raiz3 sinh u Rightarrow dt = 1raiz3 cosh u , du
Para resolver I = integral0^sinh^-1(raiz3) raiz1 + 3 ( 1raiz3 sinh u )^2 cdot 1raiz3 cosh u , du , usamos uma substituição trigonométrica ou hiperbólica. Optaremos por uma substituição hiperbólica:
I = 1raiz3 integral0^sinh^-1(raiz3) raiz1 + sinh^2 u cdot cosh u , du
Substituindo na integral:
I = 1raiz3 integral0^sinh^-1(raiz3) cosh^2 u , du
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 7

A integral de integral cosh^2 u , du = 12 sinh u cosh u - 12 u + C é conhecida:
I = 1raiz3 [ 12 sinh u cosh u - 12 u ]0^sinh^-1(raiz3)
Aplicando os limites:
I = 1raiz3 [ 12 sinh(sinh^-1(raiz3)) cosh(sinh^-1(raiz3)) - 12 sinh^-1(raiz3) ]
Calculando:
I = 1raiz3 [ 12 raiz3 cdot 2 - 12 sinh^-1(raiz3) ] = 1raiz3 [ raiz3 - 12 sinh^-1(raiz3) ]
Sabemos que I = 1 - 12raiz3 sinh^-1(raiz3) e , então:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à integral original, temos:
integral0^1 x^3 (1 - 12raiz3 sinh^-1(raiz3) ) dx = (1 - 12raiz3 sinh^-1(raiz3) ) integral0^1 x^3 dx
Calculando a integral de integral0^1 x^3 dx = [ x^44 ]0^1 = 14 de 0 a 1:

Resposta

Finalmente, o valor da integral dupla é:
14 (1 - 12raiz3 sinh^-1(raiz3) )

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