Dê um exemplo de duas funções
e
e de um número real
tais que
existe, mas
e
não existem.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma questão de cálculo que pede para encontrar duas funções
e
, e um número real
, de modo que o limite de
quando
se aproxima de
exista, mas os limites de
e
individualmente não existam. Vamos usar conceitos de limites e funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos criar duas funções que, ao somarem, simplifiquem de forma que o limite exista, mas individualmente os limites sejam problemáticos. Um jeito clássico de fazer isso é usar funções que são inversamente relacionadas.
Passo 3
Vamos considerar
. Isso porque, em
, funções como
costumam não ter limites, já que oscilam infinitamente perto de zero.
Passo 4
Definimos as funções da seguinte maneira:
Essas funções são o oposto uma da outra.
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites:
- Limite de
quando :
Esse limite não existe porque
oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum valor específico conforme
se aproxima de 0.
- Limite de
quando :
Assim como
, esse limite também não existe pelas mesmas razões.
Passo 6
Agora, vamos somar
e
:
Então, o limite de
quando
é:
Ou seja, o limite existe e é igual a zero.
Resposta
Um exemplo é escolher
,
e
. Neste caso,
, mas os limites individuais de
e
não existem.
Exercícios relacionados
Uma partícula está se movendo ao longo da parábola
e sua velocidade escalar é constante. Encontre cada um dos seguintes, quando a partícula está em
; o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário,
e
.
Calcule os seguintes limites:
Calcule
.
Seja
um número real e considere a função
dada por
. Mostre que se
, então o limite
não existe.