Dê um exemplo de duas funções f e g e de um número real x0 tais que lim x x0(f(x)+g(x)) existe, mas lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x) não existem.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma questão de cálculo que pede para encontrar duas funções e , e um número real , de modo que o limite de quando se aproxima de exista, mas os limites de e individualmente não existam. Vamos usar conceitos de limites e funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos criar duas funções que, ao somarem, simplifiquem de forma que o limite exista, mas individualmente os limites sejam problemáticos. Um jeito clássico de fazer isso é usar funções que são inversamente relacionadas.

Passo 3

Vamos considerar . Isso porque, em , funções como costumam não ter limites, já que oscilam infinitamente perto de zero.

Passo 4

Definimos as funções da seguinte maneira:
f(x) = sin(1x)
g(x) = -sin(1x)
Essas funções são o oposto uma da outra.

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites:
  1. Limite de limx to 0 sin(1x) quando limx to 0 -sin(1x) :
Esse limite não existe porque oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum valor específico conforme se aproxima de 0.
  1. Limite de quando :
Assim como , esse limite também não existe pelas mesmas razões.

Passo 6

Agora, vamos somar f(x) + g(x) = sin(1x) - sin(1x) = 0 e limx to 0 (f(x) + g(x)) = limx to 0 0 = 0 :
Então, o limite de quando é:
Ou seja, o limite existe e é igual a zero.

Resposta

Um exemplo é escolher , e . Neste caso, , mas os limites individuais de e não existem.

Exercícios relacionados

Uma partícula está se movendo ao longo da parábola y^2 = 8 x e sua velocidade escalar é constante. Encontre cada um dos seguintes, quando a partícula está em 2,4; o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, A_T e AN.
Calcule os seguintes limites: lim x 0 raiz[4]8 x^3+4 x+4
Calcule integral0^1[integral0^x x raizx^2+3 y^2 d y] d x.
Seja C um número real e considere a função f: R backslash2,3 R dada por f(x)=x^3-C x^2-9 x+9 C(x-2)(x-3). Mostre que se C neq 2, então o limite lim x 2 f(x) não existe.