Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
d) O sólido limitado pelo cilindro x^2 + z^2 = 4 e pelos planos y = -1 e y + z = 4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes em espaços tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos estudando. O cilindro é um cilindro circular com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo y. Isso significa que para cada valor de y, a seção transversal do cilindro é um círculo no plano xz com raio 2.

Passo 3

Os limites para a variável y são dados pelos planos e . Vamos rearranjar a equação para expressar z em termos de y:

Passo 4

Para configurar a integral tripla, precisamos definir os limites de integração para cada variável (x, y, z). Vamos usar coordenadas cilíndricas porque o cilindro facilita essa mudança de coordenadas.
Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Onde:
  • é o raio que varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
  • é o ângulo que varia de 0 a .
  • varia de -1 até .

Passo 5

A integral tripla para calcular o volume fica:
Aqui, o termo vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a y:

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Vamos separar as integrais:
Sabemos que:

Passo 9

Substituindo os valores das integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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