Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
d) O sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
.
d) O sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes em espaços tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos estudando. O cilindro
é um cilindro circular com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo y. Isso significa que para cada valor de y, a seção transversal do cilindro é um círculo no plano xz com raio 2.
Passo 3
Os limites para a variável y são dados pelos planos
e
. Vamos rearranjar a equação
para expressar z em termos de y:
Passo 4
Para configurar a integral tripla, precisamos definir os limites de integração para cada variável (x, y, z). Vamos usar coordenadas cilíndricas porque o cilindro facilita essa mudança de coordenadas.
Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Onde:
-
é o raio que varia de 0 a 2 (raio do cilindro). -
é o ângulo que varia de 0 a . -
varia de -1 até .
Passo 5
A integral tripla para calcular o volume
fica:
Aqui, o termo
vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a y:
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos separar as integrais:
Sabemos que:
Passo 9
Substituindo os valores das integrais:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites:
Seja
um número real e considere a função
dada por
. Mostre que 2 é raiz do polinômio
se, e somente se,
.
A integral dupla
é uma integral imprópria e pode ser definida como o limite da integral dupla sobre o retângulo
quando
. Mas, se expandirmos o integrando como uma série geométrica, podemos exprimir a integral como a soma de uma série infinita. Mostre que
Calcule a integral
, onde
é o sólido limitado pelos planos
e
e pelos cilindros
e
.