integral triplaB 6(x^2+2 y-z) d V onde B é o paralelepípedo dado por 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2 e 1 <= z <= 2. (Resp: 34 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma integral tripla , onde é um paralelepípedo com os limites , e . Isso é sobre cálculo múltiplo, especificamente integrais triplas em um espaço 3D. Vamos precisar saber como integrar funções de várias variáveis e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral tripla representa. Basicamente, a gente está somando os valores da função em todo o volume do paralelepípedo . Para isso, vamos integrar em relação a , depois a e, por fim, a .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^2 6(x^2 + 2y - z) dx . Os limites de 6 ( integral0^2 x^2 dx + integral0^2 2y , dx - integral0^2 z , dx ) são de 0 a 2. A integral fica assim:
Integrando cada termo:

Passo 4

Calculando cada integral:
  1. 6 ( 83 + 4y - 2z ) = 16 + 24y - 12z
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral1^2 ( 16 + 24y - 12z ) dy , cujos limites são de 1 a 2:
16y + 12y^2 - 12z y |1^2
Integrando cada termo:
16(2) + 12(4) - 12z(2) - [ 16(1) + 12(1) - 12z(1) ] = 32 + 48 - 24z - (16 + 12 - 12z) = 32 + 48 - 24z -16 -12 +12z = 52 -12z
Calculando:

Passo 6

Por fim, vamos integrar em relação a integral1^2 (52 - 12z) dz , de 1 a 2:
52z - 6z^2 |1^2
Integrando:
52(2) - 6(4) - [52(1) - 6(1)] = 104 - 24 - (52 - 6) = 80 - 46 = 34
Calculando:

Resposta

34

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