Seja
a calota esférica dada pela equação
, onde
. Sobre
fixe a orientação
, tal que
. Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral sobre uma calota esférica
definida pela equação
, onde
. A orientação da superfície é dada pelo vetor
tal que em
ele aponta na direção de
. A função vetorial envolvida é
. Nosso objetivo é calcular a integral de superfície
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de uma rotacional sobre uma superfície com a integral de linha ao longo da borda dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Vamos calcular
para a função dada:
Onde
.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz que:
Onde
é a borda da superfície
. No nosso caso, a calota esférica
tem como borda o círculo onde
e
. Então, ao invés de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao longo dessa borda.
Passo 5
Vamos parametrizar a curva
. Para
e
, podemos usar coordenadas polares:
O vetor posição é então
. O diferencial de posição é:
Passo 6
Vamos avaliar a função vetorial
ao longo da curva parametrizada:
Substituindo
,
,
:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Vamos integrar isso de
a
:
Vamos dividir a integral em duas partes:
Passo 9
Calculando a segunda integral primeiro:
Agora, para a primeira integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a
.