Seja S a calota esférica dada pela equação x^2+y^2+z^2=4, onde 0 <= z <= 2. Sobre S fixe a orientação n, tal que n(0,0,2)=k. Calcule integral duplaS(rot F) cdot n d S, onde F(x, y, z)=(-y^33+z e^x, x^33-cos (y z), x y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral sobre uma calota esférica S definida pela equação x^2 + y^2 + z^2 = 4, onde 0 <= z <= 2. A orientação da superfície é dada pelo vetor n tal que em (0,0,2) ele aponta na direção de k. A função vetorial envolvida é F(x, y, z) = (-y^33 + z e^x, x^33 - cos(y z), x y). Nosso objetivo é calcular a integral de superfície integral duplaS(rot F) cdot n , dS. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de uma rotacional sobre uma superfície com a integral de linha ao longo da borda dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F ou nabla times F, mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Vamos calcular rot F para a função dada:
rot F = nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Onde F = (F1, F2, F3).

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
    partial F3partial y - partial F2partial z = partial (x y)partial y - partial ( x^33 - cos(y z) )partial z = x - (y sin(y z))
  2. Segunda componente:
    partial F1partial z - partial F3partial x = partial ( -y^33 + z e^x )partial z - partial (x y)partial x = e^x - y
  3. Terceira componente:
    partial F2partial x - partial F1partial y = partial ( x^33 - cos(y z) )partial x - partial ( -y^33 + z e^x )partial y = x^2 - ( - y^2 ) = x^2 + y^2
Portanto, temos:
rot F = ( x - y sin(y z), e^x - y, x^2 + y^2 )

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz que:
integral duplaS (rot F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Onde partial S é a borda da superfície S. No nosso caso, a calota esférica S tem como borda o círculo onde z = 0 e x^2 + y^2 = 4. Então, ao invés de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao longo dessa borda.

Passo 5

Vamos parametrizar a curva partial S. Para z = 0 e x^2 + y^2 = 4, podemos usar coordenadas polares:
x = 2 cos theta, y = 2 sin theta, z = 0, theta in [0, 2pi]
O vetor posição é então r(theta) = (2 cos theta, 2 sin theta, 0). O diferencial de posição é:
dr = ( d xd theta, d yd theta, d zd theta ) dtheta = (-2 sin theta, 2 cos theta, 0) dtheta

Passo 6

Vamos avaliar a função vetorial F ao longo da curva parametrizada:
F(x, y, z) = ( -y^33 + z e^x, x^33 - cos(y z), x y )
Substituindo x = 2 cos theta, y = 2 sin theta, z = 0:
F = ( -(2 sin theta)^33 + 0, (2 cos theta)^33 - cos(0), (2 cos theta)(2 sin theta) ) = ( -8 sin^3 theta3, 8 cos^3 theta3 - 1, 4 cos theta sin theta )

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = ( -8 sin^3 theta3 )(-2 sin theta) + ( 8 cos^3 theta3 - 1 )(2 cos theta) + (4 cos theta sin theta)(0)
Simplificando:
F cdot dr = 16 sin^4 theta3 + ( 16 cos^4 theta3 - 2 cos theta )
Então:
F cdot dr = 163 (sin^4 theta + cos^4 theta) - 2 cos theta

Passo 8

Vamos integrar isso de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi [ 163 (sin^4 theta + cos^4 theta) - 2 cos theta ] dtheta
Vamos dividir a integral em duas partes:
  1. 163 integral0^2pi (sin^4 theta + cos^4 theta) dtheta
  2. -2 integral0^2pi cos theta , dtheta

Passo 9

Calculando a segunda integral primeiro:
-2 integral0^2pi cos theta , dtheta = -2 [sin theta]0^2pi = -2 (0 - 0) = 0
Agora, para a primeira integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^4 theta + cos^4 theta = 34 - 12 cos(4theta)
Então:
163 integral0^2pi ( 34 - 12 cos(4theta) ) dtheta = 163 ( 34 cdot 2pi - 12 cdot 0 ) = 163 cdot 34 cdot 2pi = 8pi

Resposta

Portanto, a integral integral duplaS(rot F) cdot n , dS é igual a 8pi.

Exercícios relacionados