Seja $S$ a calota esférica dada pela equação $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$, onde $0 \leq z \leq 2$. Sobre $S$ fixe a orientação $\vec{n}$, tal que $\vec{n}(0,0,2)=\vec{k}$. Calcule $\iint_{S}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n} d S$, onde $\vec{F}(x, y, z)=\left(\frac{-y^{3}}{3}+z e^{x}, \frac{x^{3}}{3}-\cos (y z), x y\right)$.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral sobre uma calota esférica definida pela equação , onde . A orientação da superfície é dada pelo vetor tal que em ele aponta na direção de . A função vetorial envolvida é . Nosso objetivo é calcular a integral de superfície . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de uma rotacional sobre uma superfície com a integral de linha ao longo da borda dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Vamos calcular para a função dada:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
Portanto, temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz que:
Onde é a borda da superfície . No nosso caso, a calota esférica tem como borda o círculo onde e . Então, ao invés de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao longo dessa borda.

Passo 5

Vamos parametrizar a curva . Para e , podemos usar coordenadas polares:
O vetor posição é então . O diferencial de posição é:

Passo 6

Vamos avaliar a função vetorial ao longo da curva parametrizada:
Substituindo , , :

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:
Então:

Passo 8

Vamos integrar isso de a :
Vamos dividir a integral em duas partes:

Passo 9

Calculando a segunda integral primeiro:
Agora, para a primeira integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

Exercícios relacionados

Seja a superfície cônica de vértice , de base situada no plano com raio 1 e com componente não negativa. Seja , sendo de classe em . Calcule o fluxo de através de .
<html><head></head><body><div>Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“26.282ex” height=“3.048ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1097 11616.4 1347”><title>F(x, y, z) = yi + zj + x*k, S</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mover”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D439” d=“M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 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-64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4221.1,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(5276.9,0)”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 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<html><head></head><body><div>Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para <span class="math-inline ">
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</body></html>
Seja de classe , tal que e , para todo . Calcule , onde é a lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , , com normal apontando para fora de .