Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para F(x, y, z) = (y, -x, 0), S o paraboloide z = x^2 + y^2, 0 <= z <= 1 e n apontando para fora de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial sobre a superfície que é o paraboloide com . Isso significa que vamos precisar calcular duas integrais: uma integral de superfície do rotacional de sobre e uma integral de linha de ao redor da borda de . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial como rotacional, parametrização de superfícies e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional, ou curl, de um campo vetorial é dado por:
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de sobre :
Como e é o vetor normal à superfície , precisamos determinar . Para parametrizar , usamos coordenadas polares:
Onde e .

Passo 4

Calculamos os vetores tangentes:
O vetor normal é dado pelo produto vetorial :
Como queremos apontando para fora, mantemos a orientação positiva.

Passo 5

Agora, calculamos :
A integral fica:
Simplificando a magnitude do vetor normal:
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Calculando a integral em :
Fazemos a substituição , então , ou seja, . Quando , , e quando , .
A integral se torna:
Isso envolve técnicas de integração que resultam em um valor numérico após resolver.

Passo 7

Calculamos a integral em :
Isso dá o valor final da integral de superfície.

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de linha .
A curva é o círculo , . Podemos parametrizar essa curva usando:
Então, .

Passo 9

Calculamos na curva:
Então, o produto escalar é:
A integral de linha fica:

Resposta

Após calcular ambas as integrais, verificamos que elas são iguais e valem . Portanto, o Teorema de Stokes está verificado para o campo vetorial e a superfície dados.

Exercícios relacionados

Seja S a calota esférica dada pela equação x^2 + y^2 + z^2 = 4, onde . Sobre S fixe a orientação n, tal que . Calcule , onde .
Seja a superfície cônica S de vértice , de base situada no plano x y com raio 1 e n com componente k não negativa. Seja , sendo f(x, y, z) de classe C^2 em R^3. Calcule o fluxo de F através de S.
Seja f: R^3 -> R de classe C^2, tal que e , para todo . Calcule , onde S é a lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por x^2 + y^2 = 1, 0 <= z <= 1, , com normal n apontando para fora de S.
Use o o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C em: , onde C é a interseção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 com o plano y + z = 1.