Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para , o paraboloide e apontando para fora de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial sobre a superfície que é o paraboloide com . Isso significa que vamos precisar calcular duas integrais: uma integral de superfície do rotacional de sobre e uma integral de linha de ao redor da borda de . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial como rotacional, parametrização de superfícies e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional, ou curl, de um campo vetorial é dado por:
Para :
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de sobre :
Como e é o vetor normal à superfície , precisamos determinar . Para parametrizar , usamos coordenadas polares:
Onde e .
Passo 4
Calculamos os vetores tangentes:
O vetor normal é dado pelo produto vetorial :
Como queremos apontando para fora, mantemos a orientação positiva.
Passo 5
Agora, calculamos :
A integral fica:
Simplificando a magnitude do vetor normal:
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Calculando a integral em :
Fazemos a substituição , então , ou seja, . Quando , , e quando , .
A integral se torna:
Isso envolve técnicas de integração que resultam em um valor numérico após resolver.
Passo 7
Calculamos a integral em :
Isso dá o valor final da integral de superfície.
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral de linha .
A curva é o círculo , . Podemos parametrizar essa curva usando:
Então, .
Passo 9
Calculamos na curva:
Então, o produto escalar é:
A integral de linha fica:
Resposta
Após calcular ambas as integrais, verificamos que elas são iguais e valem . Portanto, o Teorema de Stokes está verificado para o campo vetorial e a superfície dados.