Seja f: R^3 longrightarrow R de classe C^2, tal que nabla^2 f=x^2+y^2 e partial fpartial z(x, y, 1)=13, para todo (x, y, 1) in R^3. Calcule integral duplaS partial fpartial n d S, onde S é a lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por x^2+y^2=1,0 <= z <= 1, z=0, x^2+y^2 <= 1, com normal n apontando para fora de S.

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Primeiro, vamos resumir o enunciado para entender bem o que está sendo pedido. Temos uma função que é duas vezes continuamente diferenciável ( ). Sabemos que o Laplaciano de é . Além disso, a derivada parcial de em relação a no plano é para todo ponto .
Queremos calcular a integral de superfície , onde é uma lata cilíndrica sem tampa, definida por e , com a normal apontando para fora.
Conteúdos da Matéria Necessários:
  • Cálculo Vetorial: gradiente, divergente e Laplaciano.
  • Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
  • Coordenadas Cilíndricas para integração.
Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para transformar a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando o cálculo.

Passo 2

Aplicando o Teorema da Divergência
A integral que queremos calcular é:
integral duplaS partial fpartial n dS
Sabemos que integral duplaS nabla f cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot (nabla f) , dV , onde integral duplaS partial fpartial n dS = integral triplaV nabla^2 f , dV é o gradiente de e é o vetor normal à superfície .
De acordo com o Teorema da Divergência, temos:
Aqui, é o volume delimitado pela superfície .
Mas , que é o Laplaciano de . Então, a integral de superfície se transforma em uma integral de volume do Laplaciano de :

Passo 3

Calculando a Integral de Volume
Sabemos que integral triplaV (x^2 + y^2) , dV . Portanto, precisamos calcular:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
integral triplaV (r^2) cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaV r^3 , dr , dtheta , dz
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Além disso, no cilindro , temos variando de 0 a 1, de 0 a e de 0 a 1.
Substituindo na integral:

Passo 4

Integrando nas Coordenadas Cilíndricas
Vamos integrar cada variável separadamente:
  1. Integral em integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
integral0^2pi dtheta = 2pi
  1. Integral em integral0^1 dz = 1 :
14 times 2pi times 1 = pi2
  1. Integral em :
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

integral duplaS partial fpartial n dS = pi2

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