Seja de classe , tal que e , para todo . Calcule , onde é a lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , , com normal apontando para fora de .

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Primeiro, vamos resumir o enunciado para entender bem o que está sendo pedido. Temos uma função que é duas vezes continuamente diferenciável ( ). Sabemos que o Laplaciano de é . Além disso, a derivada parcial de em relação a no plano é para todo ponto .
Queremos calcular a integral de superfície , onde é uma lata cilíndrica sem tampa, definida por e , com a normal apontando para fora.
Conteúdos da Matéria Necessários:
  • Cálculo Vetorial: gradiente, divergente e Laplaciano.
  • Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
  • Coordenadas Cilíndricas para integração.
Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para transformar a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando o cálculo.

Passo 2

Aplicando o Teorema da Divergência
A integral que queremos calcular é:
Sabemos que , onde é o gradiente de e é o vetor normal à superfície .
De acordo com o Teorema da Divergência, temos:
Aqui, é o volume delimitado pela superfície .
Mas , que é o Laplaciano de . Então, a integral de superfície se transforma em uma integral de volume do Laplaciano de :

Passo 3

Calculando a Integral de Volume
Sabemos que . Portanto, precisamos calcular:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Além disso, no cilindro , temos variando de 0 a 1, de 0 a e de 0 a 1.
Substituindo na integral:

Passo 4

Integrando nas Coordenadas Cilíndricas
Vamos integrar cada variável separadamente:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para , o paraboloide e apontando para fora de .
Seja a calota esférica dada pela equação , onde . Sobre fixe a orientação , tal que . Calcule , onde .
Use o o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em: , onde é a interseção da esfera com o plano .
Use o o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em: , onde é a interseção do plano com o cilindro .