Seja
de classe
, tal que
e
, para todo
. Calcule
, onde
é a lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por
,
, com normal
apontando para fora de
.
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Primeiro, vamos resumir o enunciado para entender bem o que está sendo pedido. Temos uma função
que é duas vezes continuamente diferenciável (
). Sabemos que o Laplaciano de
é
. Além disso, a derivada parcial de
em relação a
no plano
é
para todo ponto
.
Queremos calcular a integral de superfície
, onde
é uma lata cilíndrica sem tampa, definida por
e
, com a normal
apontando para fora.
Conteúdos da Matéria Necessários:
- Cálculo Vetorial: gradiente, divergente e Laplaciano.
- Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
- Coordenadas Cilíndricas para integração.
Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para transformar a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando o cálculo.
Passo 2
Aplicando o Teorema da Divergência
A integral que queremos calcular é:
Sabemos que
, onde
é o gradiente de
e
é o vetor normal à superfície
.
De acordo com o Teorema da Divergência, temos:
Aqui,
é o volume delimitado pela superfície
.
Mas
, que é o Laplaciano de
. Então, a integral de superfície se transforma em uma integral de volume do Laplaciano de
:
Passo 3
Calculando a Integral de Volume
Sabemos que
. Portanto, precisamos calcular:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Além disso, no cilindro
, temos
variando de 0 a 1,
de 0 a
e
de 0 a 1.
Substituindo na integral:
Passo 4
Integrando nas Coordenadas Cilíndricas
Vamos integrar cada variável separadamente:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para
,
o paraboloide
e
apontando para fora de
.
Seja
a calota esférica dada pela equação
, onde
. Sobre
fixe a orientação
, tal que
. Calcule
, onde
.
Use o o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva
em:
, onde
é a interseção da esfera
com o plano
.
Use o o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva
em:
, onde
é a interseção do plano
com o cilindro
.