- Uma nave espacial de massa
viaja com velocidade constante pelo espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de
durante um tempo muito curto (que vamos aproximar como sendo instantâneo) a uma velocidade de
em relação à nave.
a) Ignorando qualquer possível mudança de massa total do sistema, calcule a velocidade que a nave vai ter em relação ao seu referencial inicial (antes de aceleração).
a) Ignorando qualquer possível mudança de massa total do sistema, calcule a velocidade que a nave vai ter em relação ao seu referencial inicial (antes de aceleração).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma nave espacial que pesa
e está viajando com velocidade constante no espaço. Para acelerar, ela vai jogar fora uma massa de
rapidinho, quase que de repente, e essa massa é ejetada a uma velocidade de
em relação à nave (onde
é a velocidade da luz). Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a nova velocidade da nave após essa aceleração, em relação ao seu referencial inicial, ou seja, antes de ela ter acelerado.
Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento. Esse princípio diz que, num sistema isolado (sem forças externas), a quantidade de movimento total permanece constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a quantidade de movimento. A quantidade de movimento (
) de um objeto é dada pela fórmula:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade do objeto.
Antes da aceleração, a nave tem uma quantidade de movimento inicial (
):
onde:
-
é a massa da nave, -
é a velocidade inicial da nave.
Passo 3
Quando a nave ejetar
de massa a uma velocidade de
relativa à nave, essa massa terá uma quantidade de movimento relativa (
) de:
No entanto, precisamos considerar a direção. Se a massa é ejetada na direção oposta ao movimento inicial da nave, a quantidade de movimento da massa será negativa em relação à nave.
Passo 4
Após a ejeção, a nave terá uma nova velocidade (
) e uma quantidade de movimento final (
) de:
Segundo a conservação da quantidade de movimento:
Substituindo as expressões:
Passo 5
Queremos encontrar
, a nova velocidade da nave. Vamos isolar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Passo 7
Como a nave estava viajando com velocidade constante inicialmente,
é a velocidade antes da aceleração. Se considerarmos
como sendo zero em relação ao referencial inicial (ou seja, estamos medindo a mudança de velocidade), então:
O sinal negativo indica que a nave está acelerando na direção oposta à direção da ejeção da massa.
Resposta
A nova velocidade da nave após a aceleração é
, ou seja, a nave passa a se mover a uma velocidade de
na direção oposta ao referencial inicial.
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.
© Mostre que
Seja um campo elétrico propagando-se no vácuo tal que
(a) Mostre que este campo satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial.
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