• Uma nave espacial de massa 10^6 kg viaja com velocidade constante pelo espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de 10^3 kg durante um tempo muito curto (que vamos aproximar como sendo instantâneo) a uma velocidade de c / 2 em relação à nave.
    a) Ignorando qualquer possível mudança de massa total do sistema, calcule a velocidade que a nave vai ter em relação ao seu referencial inicial (antes de aceleração).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma nave espacial que pesa e está viajando com velocidade constante no espaço. Para acelerar, ela vai jogar fora uma massa de rapidinho, quase que de repente, e essa massa é ejetada a uma velocidade de em relação à nave (onde é a velocidade da luz). Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a nova velocidade da nave após essa aceleração, em relação ao seu referencial inicial, ou seja, antes de ela ter acelerado.
Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento. Esse princípio diz que, num sistema isolado (sem forças externas), a quantidade de movimento total permanece constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a quantidade de movimento. A quantidade de movimento ( p = m times v ) de um objeto é dada pela fórmula:
pi = M times Vi
onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a velocidade do objeto.
Antes da aceleração, a nave tem uma quantidade de movimento inicial ( ):
onde:
  • é a massa da nave,
  • é a velocidade inicial da nave.

Passo 3

Quando a nave ejetar pejetada = m times c2 de massa a uma velocidade de relativa à nave, essa massa terá uma quantidade de movimento relativa ( ) de:
No entanto, precisamos considerar a direção. Se a massa é ejetada na direção oposta ao movimento inicial da nave, a quantidade de movimento da massa será negativa em relação à nave.

Passo 4

Após a ejeção, a nave terá uma nova velocidade ( pf = M times Vf ) e uma quantidade de movimento final ( pi = pf + pejetada ) de:
M times Vi = M times Vf + m times c2
Segundo a conservação da quantidade de movimento:
Substituindo as expressões:

Passo 5

Queremos encontrar M times Vf = M times Vi - m times c2 , a nova velocidade da nave. Vamos isolar Vf = Vi - m times c2M :
Vf = Vi - m times c2M
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Vf = Vi - 10^3 kg times c2 times 10^6 kg
Vf = Vi - 10^32 times 10^6 times c
Vf = Vi - 12000 times c

Passo 7

Como a nave estava viajando com velocidade constante inicialmente, Vf = 0 - 12000 times c = -c2000 é a velocidade antes da aceleração. Se considerarmos como sendo zero em relação ao referencial inicial (ou seja, estamos medindo a mudança de velocidade), então:
O sinal negativo indica que a nave está acelerando na direção oposta à direção da ejeção da massa.

Resposta

A nova velocidade da nave após a aceleração é , ou seja, a nave passa a se mover a uma velocidade de na direção oposta ao referencial inicial.

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