Seja F o campo vetorial em R^3 definido por
F(x, y, z) = (y + z^2) i + (x + 3 z^2) j + (1 + 3 x + cos(z^3)) k
(a) O campo F é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F definido por
F(x, y, z) = (y + z^2) i + (x + 3 z^2) j + (1 + 3 x + cos(z^3)) k
A pergunta é: esse campo é conservativo? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar isso usando o rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo F é conservativo se existe uma função escalar f tal que . Isso significa que F é o gradiente de alguma função potencial.
Para verificar se F é conservativo, uma das formas é calcular o rotacional de F, ou seja, . Se o rotacional for zero em todo o domínio, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
    Simplificando:
  2. Componente j:
    Simplificando:
  3. Componente k:
    Simplificando:
Então, o rotacional de F é:

Passo 4

Agora, para o campo ser conservativo, o rotacional precisa ser zero em todos os pontos. Vamos ver se isso acontece:
  • Para a componente i: somente se .
  • Para a componente j: somente se .
  • A componente k já é zero.
Mas não existe um valor de z que satisfaça as duas primeiras equações ao mesmo tempo. Ou seja, o rotacional não é zero em todo o espaço.

Resposta

Não, o campo F não é conservativo.

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