Seja
o campo vetorial em
definido por
(a) O campo
é conservativo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
definido por
A pergunta é: esse campo é conservativo? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar isso usando o rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que
é o gradiente de alguma função potencial.
Para verificar se
é conservativo, uma das formas é calcular o rotacional de
, ou seja,
. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
Componente
: Simplificando: -
Componente
: Simplificando: -
Componente
: Simplificando:
Então, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, para o campo ser conservativo, o rotacional precisa ser zero em todos os pontos. Vamos ver se isso acontece:
- Para a componente
: somente se . - Para a componente
: somente se . - A componente
já é zero.
Mas não existe um valor de
que satisfaça as duas primeiras equações ao mesmo tempo. Ou seja, o rotacional não é zero em todo o espaço.
Resposta
Não, o campo
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Verifique o teorema de Stokes no seguinte caso:
e
é a porção do paraboloide
para
, orientada com o campo normal apontando para cima.
Calcule o valor dos seguintes limites:
(
(
Seja
o campo vetorial em
definido por
(b) Seja
a região triangular com vértices
. Parametrize
; determine o domínio
de sua parametrização
.