(b) Seja a região triangular com vértices . Parametrize ; determine o domínio de sua parametrização .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente parametrizar uma região triangular no espaço 3D, que tem os vértices em , e . Além disso, precisamos encontrar o domínio dessa parametrização .
Vamos usar conceitos de geometria e parametrização de superfícies para resolver isso. Precisamos entender como representar esse triângulo em termos de duas variáveis para facilitar cálculos futuros, como integrais sobre a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices do triângulo :
Queremos expressar qualquer ponto em como uma combinação linear desses vértices. Uma forma comum de fazer isso é usando parâmetros e que variam entre 0 e 1, garantindo que . Isso nos ajuda a cobrir todo o triângulo sem sair dele.
Passo 3
A parametrização geral de um triângulo pode ser escrita como:
Substituindo os valores de , e :
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Multiplicando cada vetor pelos seus coeficientes:
Agora, somamos esses três vetores:
Passo 5
Somando as componentes correspondentes:
Componente :
Componente :
Componente :
Então, a parametrização fica:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o domínio para os parâmetros e . Como e são coeficientes que variam entre 0 e 1, e a soma não pode exceder 1 (para não sair do triângulo), o domínio é definido por:
Isso forma um triângulo no plano , garantindo que todos os pontos fiquem dentro do triângulo original.