Seja F o campo vetorial em R^3 definido por
F(x, y, z) = (y + z^2) i + (x + 3 z^2) j + (1 + 3 x + cos(z^3)) k
(b) Seja S a região triangular com vértices (1, 0, 0), (0, 1/2, 0), (0, 0, 1). Parametrize S; determine o domínio D de sua parametrização r: D -> R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente parametrizar uma região triangular no espaço 3D, que tem os vértices em , e . Além disso, precisamos encontrar o domínio dessa parametrização .
Vamos usar conceitos de geometria e parametrização de superfícies para resolver isso. Precisamos entender como representar esse triângulo em termos de duas variáveis para facilitar cálculos futuros, como integrais sobre a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices do triângulo :
Queremos expressar qualquer ponto em como uma combinação linear desses vértices. Uma forma comum de fazer isso é usando parâmetros e que variam entre 0 e 1, garantindo que . Isso nos ajuda a cobrir todo o triângulo sem sair dele.

Passo 3

A parametrização geral de um triângulo pode ser escrita como:
Substituindo os valores de , e :
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Multiplicando cada vetor pelos seus coeficientes:
Agora, somamos esses três vetores:

Passo 5

Somando as componentes correspondentes:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, a parametrização fica:

Passo 6

Agora, precisamos determinar o domínio para os parâmetros e . Como e são coeficientes que variam entre 0 e 1, e a soma não pode exceder 1 (para não sair do triângulo), o domínio é definido por:
Isso forma um triângulo no plano , garantindo que todos os pontos fiquem dentro do triângulo original.

Resposta

A parametrização da região triangular é dada por
com o domínio

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Calcule o valor dos seguintes limites:
( psi) lim x -1^+ 2 x+1x^2+x
Seja F o campo vetorial em R^3 definido por
F(x, y, z) = (y + z^2) i + (x + 3 z^2) j + (1 + 3 x + cos(z^3)) k
(a) O campo F é conservativo?
Seja F o campo vetorial em R^3 definido por
F(x, y, z)=(y+z^2) i+(x+3 z^2) j+(1+3 x+cos (z^3)) k
(d) Calcule integralC F cdot d r (orientando C como indicado no item anterior). Resposta: -5 / 3.
1
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) a(x) = 7^x