Seja
o campo vetorial em
definido por
(b) Seja
a região triangular com vértices
. Parametrize
; determine o domínio
de sua parametrização
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente parametrizar uma região triangular
no espaço 3D, que tem os vértices em
,
e
. Além disso, precisamos encontrar o domínio
dessa parametrização
.
Vamos usar conceitos de geometria e parametrização de superfícies para resolver isso. Precisamos entender como representar esse triângulo em termos de duas variáveis para facilitar cálculos futuros, como integrais sobre a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices do triângulo
:
Queremos expressar qualquer ponto
em
como uma combinação linear desses vértices. Uma forma comum de fazer isso é usando parâmetros
e
que variam entre 0 e 1, garantindo que
. Isso nos ajuda a cobrir todo o triângulo sem sair dele.
Passo 3
A parametrização geral de um triângulo pode ser escrita como:
Substituindo os valores de
,
e
:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Multiplicando cada vetor pelos seus coeficientes:
Agora, somamos esses três vetores:
Passo 5
Somando as componentes correspondentes:
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Então, a parametrização fica:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o domínio
para os parâmetros
e
. Como
e
são coeficientes que variam entre 0 e 1, e a soma
não pode exceder 1 (para não sair do triângulo), o domínio é definido por:
Isso forma um triângulo no plano
, garantindo que todos os pontos
fiquem dentro do triângulo
original.
Resposta
A parametrização da região triangular
é dada por
com o domínio