Seja o campo vetorial
(a) Mostre que
é conservativo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial
e precisa mostrar que ele é conservativo. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente em campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e verificar se ele é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
. Ele está dado por:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Passo 4
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do rotacional:
Resposta
Como o rotacional de
é zero, concluímos que o campo vetorial
é conservativo.
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Seja
. Determine
Calcule .
Calcule
(a)
(a)
Seja
. Determine
(a)
(a)