Seja o campo vetorial
F = (2 x sen z) i + (z^3 - epsilon^y) j + (x^2 cos z + 3 y z^2) k
(a) Mostre que F = vetor(F) é conservativo

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial e precisa mostrar que ele é conservativo. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente em campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e verificar se ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial . Ele está dado por:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de , que é dado por:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do rotacional:

Resposta

Como o rotacional de é zero, concluímos que o campo vetorial é conservativo.

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Seja f(x, y) = x^2 * y + 1. Determine
Calcule f(0, 0).
Sejam f(x, y) = x + 3 x^2 y^2, x(t) = t^2 e y(t) = t^3. Determine
(a) f(x(t), y(t))
(a) f(x) = tg(x), x = 5pi/4
Seja f(x, y) = x^2 * y + 1. Determine
(a) f(2,1)