Seja A=[ccc0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1].
(b) Determine o posto e a nulidade de A.

Passo 1

Neste exercício, temos uma matriz e precisamos determinar o seu posto e a sua nulidade. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, mais especificamente com os conceitos de posto de matriz e nulidade. Para resolver isso, vamos simplificar a matriz usando operações elementares para identificar quantas linhas independentes ela possui (isso nos dará o posto) e, a partir daí, calcular a nulidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1 :
Para encontrar o posto, vamos transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, onde conseguimos facilmente identificar as linhas independentes.

Passo 3

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (o primeiro número diferente de zero de uma linha, que será 1). Observando a primeira coluna, a linha 2 já tem um 1, então vamos trocar a linha 1 pela linha 2 para facilitar:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar os números abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 3: Vamos subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
    Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1
    3 - 3 times 1 & -4 - 3 times 1 & 2 - 3 times 3 = 0 & -7 & -7
  • Linha 4: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 4.
    Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 1
    2 - 2 times 1 & -3 - 2 times 1 & 1 - 2 times 3 = 0 & -5 & -5
A matriz agora fica assim:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5

Passo 5

Seguimos para a segunda coluna. O próximo pivô é o 2 na posição (2,2). Vamos simplificar a Linha 2 dividindo todos os elementos por 2:
Linha 2 = 12 times Linha 2 = 0 & 1 & 1
A matriz fica:
1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5

Passo 6

Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna:
  • Linha 1: Subtraímos a Linha 2 da Linha 1.
    Linha 1 = Linha 1 - Linha 2 = 1 - 0 & 1 - 1 & 3 - 1 = 1 & 0 & 2
  • Linha 3: Adicionamos 7 vezes a Linha 2 à Linha 3.
    Linha 3 = Linha 3 + 7 times Linha 2 = 0 + 0 & -7 + 7 times 1 & -7 + 7 times 1 = 0 & 0 & 0
  • Linha 4: Adicionamos 5 vezes a Linha 2 à Linha 4.
    Linha 4 = Linha 4 + 5 times Linha 2 = 0 + 0 & -5 + 5 times 1 & -5 + 5 times 1 = 0 & 0 & 0
A matriz agora está assim:
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 7

A matriz está na forma escalonada reduzida, onde podemos facilmente ver os pivôs. Os pivôs estão nas posições (1,1) e (2,2), totalizando 2 pivôs. Portanto, o posto da matriz é 2.

Passo 8

Para encontrar a nulidade, usamos o Teorema do Posto e Nulidade, que diz:
Posto + Nulidade = n
onde 2 + Nulidade = 3 Rightarrow Nulidade = 1 é o número de colunas da matriz. Aqui, :

Resposta

O posto de é 2 e a nulidade de é 1.

Exercícios relacionados

Determine, se possível, A^-1 nos casos abaixo:
A=(lll1 & 2 & 6 0 & 1 & 5 2 & 3 & 7)
Reduza as matrizes abaixo à forma escalonada:
B=(ll1 & 0 0 & 1 0 & 0 1 & 2)
Resolva os sistemas abaixo. Possui Solução? A Solução é única? Possui infinitas Soluções?
lx+2 y-z=3 x+3 y+z=5 3 x+8 y+4 z=17
Um sistema de equações lineares de m equações e n incógnitas é chamado homogêneo quando os seus termos independentes, bi, são todos nulos.
(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?