Neste exercício, temos uma matriz e precisamos determinar o seu posto e a sua nulidade. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, mais especificamente com os conceitos de posto de matriz e nulidade. Para resolver isso, vamos simplificar a matriz usando operações elementares para identificar quantas linhas independentes ela possui (isso nos dará o posto) e, a partir daí, calcular a nulidade.
Para encontrar o posto, vamos transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, onde conseguimos facilmente identificar as linhas independentes.
Passo 3
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (o primeiro número diferente de zero de uma linha, que será 1). Observando a primeira coluna, a linha 2 já tem um 1, então vamos trocar a linha 1 pela linha 2 para facilitar:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1
Passo 4
Agora, vamos eliminar os números abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso:
Linha 3: Vamos subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1
3 - 3 times 1 & -4 - 3 times 1 & 2 - 3 times 3 = 0 & -7 & -7
Linha 4: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 4.
Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 1
2 - 2 times 1 & -3 - 2 times 1 & 1 - 2 times 3 = 0 & -5 & -5
A matriz agora fica assim:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5
Passo 5
Seguimos para a segunda coluna. O próximo pivô é o 2 na posição (2,2). Vamos simplificar a Linha 2 dividindo todos os elementos por 2:
Linha 2 = 12 times Linha 2 = 0 & 1 & 1
A matriz fica:
1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5
Passo 6
Agora, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna:
Linha 1: Subtraímos a Linha 2 da Linha 1.
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2 = 1 - 0 & 1 - 1 & 3 - 1 = 1 & 0 & 2
Linha 3: Adicionamos 7 vezes a Linha 2 à Linha 3.
Linha 3 = Linha 3 + 7 times Linha 2 = 0 + 0 & -7 + 7 times 1 & -7 + 7 times 1 = 0 & 0 & 0
Linha 4: Adicionamos 5 vezes a Linha 2 à Linha 4.
Linha 4 = Linha 4 + 5 times Linha 2 = 0 + 0 & -5 + 5 times 1 & -5 + 5 times 1 = 0 & 0 & 0
A matriz agora está assim:
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Passo 7
A matriz está na forma escalonada reduzida, onde podemos facilmente ver os pivôs. Os pivôs estão nas posições (1,1) e (2,2), totalizando 2 pivôs. Portanto, o posto da matriz é 2.
Passo 8
Para encontrar a nulidade, usamos o Teorema do Posto e Nulidade, que diz:
Posto + Nulidade = n
onde 2 + Nulidade = 3 Rightarrow Nulidade = 1 é o número de colunas da matriz. Aqui, :