Um sistema de equações lineares de equações e incógnitas é chamado homogêneo quando os seus termos independentes, , são todos nulos.
(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sistemas de equações lineares homogêneos, que são aqueles onde todas as constantes independentes são zero. A gente vai precisar entender um pouco de álgebra linear para descobrir qual solução sempre existe nesses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é um sistema homogêneo. Ele se parece mais ou menos assim:
Ou seja, todas as equações igualam a zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar na solução que todas as variáveis são iguais a zero. Chamamos isso de solução trivial. Vamos ver se essa solução funciona:
Substituindo cada xi por zero nas equações, temos:
0 + 0 + dots + 0 = 0
Claro que isso é verdade para todas as equações do sistema!
Resposta
A solução trivial, onde todas as incógnitas são iguais a zero, é sempre uma solução do sistema homogêneo.