Seja um certo átomo que tem N prótons no núcleo e 2 e^-(dois elétrons) que se encontram no orbital atômico 1 s . Dada a função de onda Psi=Psi1 s(r1, Z1 s) Psi1 s(r2, Z1 s) e o correspondente hamiltoniano H para esse átomo, suponha que em certas unidades e após uma longa conta, o resultado para o valor esperado do hamiltoniano vem dado por:
lang<=Hrang<==2 Z1 s^2-4 N Z1 s+5 Z1 s4
a) A partir deste resultado dado acima, e usando o método variacional, determine o valor do número atômico efetivo Z1 s. b) Usando o efeito de blindagem, explique e justifique claramente por que o valor obtido para Z1 s no item a), é tal que Z1 s, ou você esperaria que Z1 s>N, e por que?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de física atômica! A gente tem um átomo com prótons no núcleo e dois elétrons no orbital 1s. A função de onda e o hamiltoniano já foram fornecidos, e precisamos usar o método variacional para encontrar o número atômico efetivo . Depois, vamos discutir por que esse valor de é menor que usando o efeito de blindagem. Para resolver isso, vamos precisar entender o método variacional e o conceito de blindagem eletrônica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método variacional. Esse método é uma técnica usada na mecânica quântica para aproximar o valor mínimo da energia de um sistema. A ideia é testar diferentes funções de onda e encontrar aquela que minimiza o valor esperado da energia, que aqui é dado por .

Passo 3

A expressão para o valor esperado do hamiltoniano é:
lang<= H rang<= = 2 Z1s^2 - 4 N Z1s + 5 Z1s4
Queremos encontrar o valor de que minimiza essa expressão. Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de dlang<= H rang<=dZ1s = 4 Z1s - 4 N + 54 em relação a 4 Z1s - 4 N + 54 = 0 :
Agora, igualamos essa derivada a zero para encontrar o mínimo:

Passo 5

Resolvendo a equação para 4 Z1s = 4 N - 54 :
Z1s = N - 516
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 6

Portanto, o valor do número atômico efetivo Z1s = N - 516 que minimiza o valor esperado do hamiltoniano é:

Resposta

O número atômico efetivo é igual a .

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