Seja um condutor de alumínio (resistividade a 20^circ C: 2,83 times 10^-8 Omega m ) de 500 m e 5 mm de diâmetro. Este condutor conduz uma corrente eficaz de 10 A . Se este condutor for substituído por outro de cobre (resistividade a 20^circ C: 1,72 times 10^-8 Omega m ) de secção circular e mesmo comprimento, qual deve ser o diâmetro ( em mm ) do mesmo para que o condutor de cobre dissipe a metade da potência do condutor de alumínio ao conduzir os mesmos 10 A ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de alumínio com resistividade de 2,83 times 10^-8 , Omega cdot m, comprimento de 500 metros e diâmetro de 5 mm, que está conduzindo uma corrente de 10 A. Queremos substituir esse fio por um de cobre, com resistividade de 1,72 times 10^-8 , Omega cdot m, mantendo o mesmo comprimento e corrente. A meta é descobrir qual deve ser o diâmetro do fio de cobre para que ele dissipe metade da potência que o fio de alumínio dissipa.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de resistividade, resistência elétrica, e como a potência dissipada depende da resistência. Vamos usar fórmulas como $ R = \rho \frac{L}{A} $ e $ P = I^2 R $, onde:
  • $ R $ é a resistência,
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L $ é o comprimento do condutor,
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ P $ é a potência dissipada,
  • $ I $ é a corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a resistência do fio de alumínio. A fórmula para resistência é:
R = rho LA
Onde:
  • $ \rho = 2,83 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $ (resistividade do alumínio),
  • $ L = 500 , m $,
  • $ A $ é a área da seção transversal do fio.
Como o fio tem seção circular, a área $ A $ pode ser calculada usando:
rho = 2,83 times 10^-8 , Omega cdot m
Dado que o diâmetro $ d = 5 , mm = 0,005 , m $, temos:
L = 500 , m
Agora, calculando a resistência:
A

Passo 3

A potência dissipada por um condutor é dada por:
P = I^2 R
Para o fio de alumínio:
PAl = (10)^2 times 0,722 = 100 times 0,722 = 72,2 , W

Passo 4

Queremos que o fio de cobre dissipe metade da potência do fio de alumínio. Então:
PCu = PAl2 = 72,22 = 36,1 , W
Usando a mesma fórmula da potência:
PCu = I^2 RCu Rightarrow 36,1 = 100 times RCu Rightarrow RCu = 36,1100 = 0,361 , Omega

Passo 5

Agora, vamos encontrar o diâmetro do fio de cobre que resulta nessa resistência. Usando a fórmula da resistência:
RCu = rhoCu LACu
Onde:
  • $ \rho_{Cu} = 1,72 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $,
  • $ L = 500 , m $,
  • $ R_{Cu} = 0,361 , \Omega $.
Resolvendo para $ A_{Cu} $:
rhoCu = 1,72 times 10^-8 , Omega cdot m
Agora, calculamos o diâmetro a partir da área da seção circular:
L = 500 , m
Multiplicando por 2 para obter o diâmetro:
RCu = 0,361 , Omega

Resposta

O diâmetro do fio de cobre deve ser aproximadamente 5,5 mm para dissipar metade da potência do fio de alumínio mantendo a mesma corrente.

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