Seja um condutor de alumínio (resistividade a
) de 500 m e 5 mm de diâmetro. Este condutor conduz uma corrente eficaz de 10 A . Se este condutor for substituído por outro de cobre (resistividade a
) de secção circular e mesmo comprimento, qual deve ser o diâmetro ( em mm ) do mesmo para que o condutor de cobre dissipe a metade da potência do condutor de alumínio ao conduzir os mesmos 10 A ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de alumínio com resistividade de
, comprimento de 500 metros e diâmetro de 5 mm, que está conduzindo uma corrente de 10 A. Queremos substituir esse fio por um de cobre, com resistividade de
, mantendo o mesmo comprimento e corrente. A meta é descobrir qual deve ser o diâmetro do fio de cobre para que ele dissipe metade da potência que o fio de alumínio dissipa.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de resistividade, resistência elétrica, e como a potência dissipada depende da resistência. Vamos usar fórmulas como $ R = \rho \frac{L}{A} $ e $ P = I^2 R $, onde:
- $ R $ é a resistência,
- $ \rho $ é a resistividade do material,
- $ L $ é o comprimento do condutor,
- $ A $ é a área da seção transversal,
- $ P $ é a potência dissipada,
- $ I $ é a corrente elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a resistência do fio de alumínio. A fórmula para resistência é:
Onde:
- $ \rho = 2,83 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $ (resistividade do alumínio),
- $ L = 500 , m $,
- $ A $ é a área da seção transversal do fio.
Como o fio tem seção circular, a área $ A $ pode ser calculada usando:
Dado que o diâmetro $ d = 5 , mm = 0,005 , m $, temos:
Agora, calculando a resistência:
Passo 3
A potência dissipada por um condutor é dada por:
Para o fio de alumínio:
Passo 4
Queremos que o fio de cobre dissipe metade da potência do fio de alumínio. Então:
Usando a mesma fórmula da potência:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o diâmetro do fio de cobre que resulta nessa resistência. Usando a fórmula da resistência:
Onde:
- $ \rho_{Cu} = 1,72 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $,
- $ L = 500 , m $,
- $ R_{Cu} = 0,361 , \Omega $.
Resolvendo para $ A_{Cu} $:
Agora, calculamos o diâmetro a partir da área da seção circular:
Multiplicando por 2 para obter o diâmetro:
Resposta
O diâmetro do fio de cobre deve ser aproximadamente 5,5 mm para dissipar metade da potência do fio de alumínio mantendo a mesma corrente.