Seja
o conjunto dos pontos no interior e na fronteira do círculo unitário no plano
. Em símbolos,
. Determine um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar para mostrar que
não é um subespaço de
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto
, que é formado por todos os pontos dentro ou na fronteira do círculo unitário no plano
, não é um subespaço de
. Aqui, estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.
Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço e quais são os critérios que ele deve cumprir. Vamos usar dois vetores específicos para demonstrar que
não satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço se:
- O vetor zero está em
. - Se você pegar dois vetores qualquer em
, a soma deles também está em (fechado sob adição). - Se você multiplicar qualquer vetor em
por um escalar, o resultado também está em (fechado sob multiplicação por escalar).
Então, para mostrar que
não é um subespaço, basta encontrarmos um exemplo que viole uma dessas condições.
Passo 3
Vamos escolher dois vetores específicos no conjunto
. Por exemplo:
Ambos os vetores estão em
porque:
Passo 4
Agora, vamos somar esses dois vetores:
Vamos verificar se esse vetor resultante está em
:
Claramente,
não é menor ou igual a
, então
não está em
.
Passo 5
Como encontramos dois vetores em
cuja soma não pertence a
, isso significa que
não está fechado sob adição. Portanto,
não satisfaz os critérios para ser um subespaço de
.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado sob adição, como demonstrado com os vetores
e
.
Exercícios relacionados
Dados
e
, calcular
Faça você mesmo(a)!
Considere o vetor e a base
. Determine a matriz coordenada de
com respeito a base
.
Atenção! O cumprimento das atividades resultará no bom andamento do seu curso.
Considere o vetor
Atenção! O cumprimento das atividades resultará no bom andamento do seu curso.
Desenhe os seguintes vetores em posição padrão em
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Provar que
considere e
e faça as contas)
considere