Seja
uma v.a. contínua distribuída uniformemente com média
e variância
. Calcular
.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma variável aleatória contínua
que segue uma distribuição uniforme. Sabemos que a média dessa distribuição é
e a variância é
. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de
ser menor que 0, ou seja, calcular
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades da distribuição uniforme contínua, especificamente como a média e a variância se relacionam com os limites dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição uniforme contínua é definida por um intervalo
, onde todos os valores dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. As fórmulas para a média (
) e a variância (
) dessa distribuição são:
Passo 3
Sabemos que
e
. Vamos usar essas informações para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, da fórmula da média:
Passo 4
Agora, da fórmula da variância:
Passo 5
Temos agora duas equações:
Vamos somar as duas equações para facilitar a resolução:
Passo 6
Substituindo
na equação
:
Passo 7
Agora sabemos que
está distribuído uniformemente no intervalo
. Para calcular
, precisamos descobrir a proporção do intervalo que está abaixo de 0.
O comprimento total do intervalo é:
A parte do intervalo que está abaixo de 0 vai de
até
, que tem comprimento:
Passo 8
A probabilidade
é a razão entre o comprimento da parte do intervalo abaixo de 0 e o comprimento total do intervalo: