Seja X uma v.a. contínua distribuída uniformemente com média mu=1 e variância sigma^2=43. Calcular P(X<0).

Passo 1

Vamos lá! Temos uma variável aleatória contínua X que segue uma distribuição uniforme. Sabemos que a média dessa distribuição é mu = 1 e a variância é sigma^2 = 43. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de X ser menor que 0, ou seja, calcular P(X < 0).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades da distribuição uniforme contínua, especificamente como a média e a variância se relacionam com os limites dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição uniforme contínua é definida por um intervalo [a, b], onde todos os valores dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. As fórmulas para a média ( mu) e a variância ( sigma^2) dessa distribuição são:
mu = a + b2
sigma^2 = (b - a)^212

Passo 3

Sabemos que mu = 1 e sigma^2 = 43. Vamos usar essas informações para encontrar os valores de a e b.
Primeiro, da fórmula da média:
a + b2 = 1 Rightarrow a + b = 2 (1)

Passo 4

Agora, da fórmula da variância:
(b - a)^212 = 43 Rightarrow (b - a)^2 = 16 Rightarrow b - a = 4

Passo 5

Temos agora duas equações:
  1. a + b = 2
  2. b - a = 4
Vamos somar as duas equações para facilitar a resolução:
(a + b) + (b - a) = 2 + 4 Rightarrow 2b = 6 Rightarrow b = 3

Passo 6

Substituindo b = 3 na equação a + b = 2:
a + 3 = 2 Rightarrow a = -1

Passo 7

Agora sabemos que X está distribuído uniformemente no intervalo [-1, 3]. Para calcular P(X < 0), precisamos descobrir a proporção do intervalo que está abaixo de 0.
O comprimento total do intervalo é:
3 - (-1) = 4
A parte do intervalo que está abaixo de 0 vai de -1 até 0, que tem comprimento:
0 - (-1) = 1

Passo 8

A probabilidade P(X < 0) é a razão entre o comprimento da parte do intervalo abaixo de 0 e o comprimento total do intervalo:
P(X < 0) = 14 = 0,25

Resposta

P(X < 0) = 0,25

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