Seja uma v.a. contínua distribuída uniformemente com média e variância . Calcular .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição uniforme. Sabemos que a média dessa distribuição é e a variância é . Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de ser menor que 0, ou seja, calcular .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades da distribuição uniforme contínua, especificamente como a média e a variância se relacionam com os limites dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição uniforme contínua é definida por um intervalo , onde todos os valores dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. As fórmulas para a média ( ) e a variância ( ) dessa distribuição são:

Passo 3

Sabemos que e . Vamos usar essas informações para encontrar os valores de e .
Primeiro, da fórmula da média:

Passo 4

Agora, da fórmula da variância:

Passo 5

Temos agora duas equações:
Vamos somar as duas equações para facilitar a resolução:

Passo 6

Substituindo na equação :

Passo 7

Agora sabemos que está distribuído uniformemente no intervalo . Para calcular , precisamos descobrir a proporção do intervalo que está abaixo de 0.
O comprimento total do intervalo é:
A parte do intervalo que está abaixo de 0 vai de até , que tem comprimento:

Passo 8

A probabilidade é a razão entre o comprimento da parte do intervalo abaixo de 0 e o comprimento total do intervalo:

Resposta

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