Seja
uma v.a. contínua com modelo exponencial, Seja
, onde
é a função acumulada de probabilidade de
. Defina a variável
. Verifique que
tem modelo uniforme no intervalo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua
que segue uma distribuição exponencial. A função
é igual à função acumulada de probabilidade
de
. Queremos definir uma nova variável
e mostrar que
segue uma distribuição uniforme no intervalo
.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- O que é uma distribuição exponencial.
- O que é a função acumulada de probabilidade (CDF).
- O que significa uma distribuição uniforme.
- Como transformar uma variável aleatória usando sua CDF.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:
Onde
é a taxa de eventos.
Passo 3
A função acumulada de probabilidade (CDF)
nos dá a probabilidade de que a variável
seja menor ou igual a
. Para a distribuição exponencial, a CDF é:
Essa função nos mostra a probabilidade acumulada até o ponto
.
Passo 4
Agora, definimos uma nova variável
. Substituindo
pela expressão da CDF, temos:
Queremos mostrar que
segue uma distribuição uniforme no intervalo
.
Passo 5
Para verificar isso, vamos encontrar a função acumulada de probabilidade de
, ou seja,
. Por definição:
Vamos resolver essa desigualdade para
:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na CDF de
:
Usando a CDF da distribuição exponencial:
Passo 7
Encontramos que
para todo
em
. Isso é exatamente a função acumulada de uma distribuição uniforme no intervalo
. Portanto,
segue uma distribuição uniforme nesse intervalo.
Resposta
A variável
tem distribuição uniforme no intervalo
.
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.
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