Seja X uma v.a. contínua com modelo exponencial, Seja H(x)=F(x), onde F(x) é a função acumulada de probabilidade de X. Defina a variável Y=H(X). Verifique que Y tem modelo uniforme no intervalo [0,1].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição exponencial. A função é igual à função acumulada de probabilidade de . Queremos definir uma nova variável e mostrar que segue uma distribuição uniforme no intervalo .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • O que é uma distribuição exponencial.
  • O que é a função acumulada de probabilidade (CDF).
  • O que significa uma distribuição uniforme.
  • Como transformar uma variável aleatória usando sua CDF.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:
fX(x) = lambda e^-lambda x, para x >= 0
Onde é a taxa de eventos.

Passo 3

A função acumulada de probabilidade (CDF) F(x) = 1 - e^-lambda x, para x >= 0 nos dá a probabilidade de que a variável seja menor ou igual a . Para a distribuição exponencial, a CDF é:
Essa função nos mostra a probabilidade acumulada até o ponto .

Passo 4

Agora, definimos uma nova variável Y = 1 - e^-lambda X . Substituindo pela expressão da CDF, temos:
Queremos mostrar que segue uma distribuição uniforme no intervalo .

Passo 5

Para verificar isso, vamos encontrar a função acumulada de probabilidade de FY(y) = P(Y <= y) = P(1 - e^-lambda X <= y) , ou seja, 1 - e^-lambda X <= y e^-lambda X >= 1 - y -lambda X >= ln(1 - y) X <= -ln(1 - y)lambda . Por definição:
Vamos resolver essa desigualdade para :

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na CDF de FY(y) = P(X <= -ln(1 - y)lambda) = FX(-ln(1 - y)lambda) :
FX(-ln(1 - y)lambda) = 1 - e^-lambda (-ln(1 - y)lambda) = 1 - e^ln(1 - y) = 1 - (1 - y) = y
Usando a CDF da distribuição exponencial:

Passo 7

Encontramos que para todo em . Isso é exatamente a função acumulada de uma distribuição uniforme no intervalo . Portanto, segue uma distribuição uniforme nesse intervalo.

Resposta

A variável tem distribuição uniforme no intervalo .

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