Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro alpha=1, calcule a função densidade e a função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida com Y=log X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações de variáveis aleatórias na área de Probabilidade e Estatística. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro . Queremos encontrar tanto a função densidade de probabilidade (f.d.p.) quanto a função acumulada de probabilidade (f.a.p.) para uma nova variável definida como . Para isso, vamos precisar usar técnicas de transformação de variáveis e entender como essas funções se comportam após a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função densidade de probabilidade da variável fX(x) = alpha e^-alpha x & se x >= 0, 0 & caso contrário . Uma variável exponencial com parâmetro fX(x) = e^-x & se x >= 0, 0 & caso contrário tem a f.d.p. dada por:
á
Como , simplificamos para:
á

Passo 3

Agora, queremos encontrar a f.d.p. de X = e^Y . Para isso, usamos a técnica de transformação de variáveis. A ideia é expressar em termos de e calcular o jacobiano dessa transformação.
Sabemos que , então podemos reescrever como:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a derivada de dXdY = e^Y em relação a , que nos ajudará a calcular o jacobiano:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da transformação de variáveis para a função densidade:
fY(y) = fX(x) | dXdY |
Substituindo fY(y) = e^-e^y cdot e^y = e^y - e^y e , temos:

Passo 6

Assim, a função densidade de probabilidade de fY(y) = e^y - e^y, para todo y in R é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função acumulada de probabilidade (f.a.p.) de FY(y) = P(Y <= y) = P(log X <= y) = P(X <= e^y) , que é a probabilidade de ser menor ou igual a um valor específico :

Passo 8

Sabemos que a f.a.p. de FX(x) = 1 - e^-alpha x é:
FX(x) = 1 - e^-x
Com , ficamos com:

Passo 9

Substituindo FY(y) = 1 - e^-e^y por na f.a.p. de , obtemos a f.a.p. de :

Resposta

A função densidade de probabilidade de é e a função acumulada de probabilidade é .

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