Se é uma variável aleatória exponencial com parâmetro , calcule a função densidade e a função acumulada de probabilidade da variável aleatória definida com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações de variáveis aleatórias na área de Probabilidade e Estatística. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro . Queremos encontrar tanto a função densidade de probabilidade (f.d.p.) quanto a função acumulada de probabilidade (f.a.p.) para uma nova variável definida como . Para isso, vamos precisar usar técnicas de transformação de variáveis e entender como essas funções se comportam após a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função densidade de probabilidade da variável . Uma variável exponencial com parâmetro tem a f.d.p. dada por:
á
Como , simplificamos para:
á

Passo 3

Agora, queremos encontrar a f.d.p. de . Para isso, usamos a técnica de transformação de variáveis. A ideia é expressar em termos de e calcular o jacobiano dessa transformação.
Sabemos que , então podemos reescrever como:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a derivada de em relação a , que nos ajudará a calcular o jacobiano:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da transformação de variáveis para a função densidade:
Substituindo e , temos:

Passo 6

Assim, a função densidade de probabilidade de é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função acumulada de probabilidade (f.a.p.) de , que é a probabilidade de ser menor ou igual a um valor específico :

Passo 8

Sabemos que a f.a.p. de é:
Com , ficamos com:

Passo 9

Substituindo por na f.a.p. de , obtemos a f.a.p. de :

Resposta

A função densidade de probabilidade de é e a função acumulada de probabilidade é .

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