Se é uma variável aleatória exponencial com parâmetro , calcule a função densidade e a função acumulada de probabilidade da variável aleatória definida com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações de variáveis aleatórias na área de Probabilidade e Estatística. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro . Queremos encontrar tanto a função densidade de probabilidade (f.d.p.) quanto a função acumulada de probabilidade (f.a.p.) para uma nova variável definida como . Para isso, vamos precisar usar técnicas de transformação de variáveis e entender como essas funções se comportam após a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função densidade de probabilidade da variável . Uma variável exponencial com parâmetro tem a f.d.p. dada por:
Como , simplificamos para:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a f.d.p. de . Para isso, usamos a técnica de transformação de variáveis. A ideia é expressar em termos de e calcular o jacobiano dessa transformação.
Sabemos que , então podemos reescrever como:
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a derivada de em relação a , que nos ajudará a calcular o jacobiano:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da transformação de variáveis para a função densidade:
Assim, a função densidade de probabilidade de fY(y) = e^y - e^y, para todo y in R é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função acumulada de probabilidade (f.a.p.) de FY(y) = P(Y <= y) = P(log X <= y) = P(X <= e^y) , que é a probabilidade de ser menor ou igual a um valor específico :
Passo 8
Sabemos que a f.a.p. de FX(x) = 1 - e^-alpha x é:
FX(x) = 1 - e^-x
Com , ficamos com:
Passo 9
Substituindo FY(y) = 1 - e^-e^y por na f.a.p. de , obtemos a f.a.p. de :
Resposta
A função densidade de probabilidade de é e a função acumulada de probabilidade é .