Seja um corpo de 0,4 kg ligado a uma mola de constante de força de 12 N/m, oscilando com a amplitude de 8 cm. Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição x = 4 cm em relação à posição de equilíbrio x=0 e © o tempo que o corpo leva para ir de x = 0 até x = 4 cm.
Resp.: a) 0,438 m/s; (b) 0,379 m/s e 1,2 m/s2; © 0,0956 s
Estou tentando fazer essa questão a algum tempo e até agora não consigo descobrir como encontrar a velocidade na letra b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um corpo de 0,4 kg ligado a uma mola com constante de força de 12 N/m, que está oscilando com uma amplitude de 8 cm. A gente precisa calcular três coisas:
a) A velocidade máxima do corpo.
b) Os módulos da velocidade e da aceleração quando o corpo está a 4 cm da posição de equilíbrio.
c) O tempo que o corpo leva para ir de 0 cm até 4 cm.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), que é o tipo de movimento que acontece quando uma mola oscilante está envolvida. Precisamos entender como a energia e as equações de movimento funcionam nesse contexto.

Passo 2

Parte a: Calculando a velocidade máxima
No MHS, a velocidade máxima ocorre quando o corpo passa pela posição de equilíbrio (x = 0). A fórmula para a velocidade máxima $ v_{máx} $ é:
vmáx á
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da oscilação.
  • $ \omega $ é a frequência angular.
Primeiro, vamos encontrar $ \omega $. Sabemos que:
vmáx = A cdot omega
Onde:
  • $ k $ é a constante da mola (12 N/m).
  • $ m $ é a massa do corpo (0,4 kg).
Substituindo os valores:
A
Agora, a amplitude $ A $ é 8 cm, que é 0,08 m. Então:
omega á

Passo 3

Parte b: Calculando a velocidade e a aceleração quando x = 4 cm
Aqui, queremos encontrar a velocidade $ v $ e a aceleração $ a $ quando o deslocamento $ x $ é 4 cm (0,04 m). Vamos usar as seguintes fórmulas do MHS:
v
a
Primeiro, vamos calcular a velocidade $ v $:
x
v = omega cdot raizA^2 - x^2
a = omega^2 cdot x
v
Agora, a aceleração $ a $:
v = 5,477 cdot raiz0,08^2 - 0,04^2
v = 5,477 cdot raiz0,0064 - 0,0016

Passo 4

Parte c: Calculando o tempo para ir de x = 0 até x = 4 cm
Para encontrar o tempo que o corpo leva para ir da posição de equilíbrio (x = 0) até x = 4 cm, vamos usar a relação entre o deslocamento e o tempo no MHS. A posição em função do tempo é dada por:
x(t) = A cdot sin(omega t)
Queremos encontrar $ t $ quando $ x(t) = 0,04 $ m:
t
x(t) = 0,04
Sabemos que $ \sin^{-1}(0,5) = \frac{\pi}{6} $ rad, então:
0,04 = 0,08 cdot sin(5,477 t)
sin(5,477 t) = 0,040,08 = 0,5
sin^-1(0,5) = pi6

Resposta

a) A velocidade máxima do corpo é aproximadamente 0,438 m/s;
b) Quando $ x = 4 $ cm, a velocidade é 0,379 m/s e a aceleração é 1,2 m/s²;
c) O tempo para o corpo ir de 0 cm até 4 cm é aproximadamente 0,0956 segundos.

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