Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Beleza, vamos começar! Temos a função
e precisamos encontrar uma raiz dela, ou seja, um valor de
que faz
. Vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica numérica para resolver equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, entendemos o que é uma raiz. É o ponto onde o gráfico da função cruza o eixo
. Nosso objetivo é encontrar esse ponto com uma precisão de 0,005.
Passo 3
O método da bisseção precisa de dois valores,
e
, onde
e
têm sinais opostos. Isso garante que há pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 4
Vamos testar alguns valores:
-
(positivo) -
(positivo) -
(negativo)
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 1 e 2.
Passo 5
Agora, calculamos o ponto médio:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 1 e 1.5.
Passo 6
Calculamos um novo ponto médio:
Calculando
:
Agora, a raiz está entre 1.25 e 1.5.
Passo 7
Mais um ponto médio:
Calculando
:
A raiz está entre 1.375 e 1.5.
Passo 8
Novo ponto:
Calculando
:
A raiz está entre 1.4375 e 1.5.
Passo 9
Mais um ponto:
Calculando
:
A raiz está entre 1.46875 e 1.5.
Passo 10
Continuamos:
Calculando
:
A raiz está entre 1.46875 e 1.484375.
Passo 11
Como precisamos de uma precisão de 0.005, vamos ver a largura do intervalo:
Ainda maior que 0.005, então mais uma iteração:
Calculando
:
A diferença agora está dentro da precisão requerida.
Resposta
A raiz aproximada da função
com precisão de 0,005 é
.
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Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
. Provar que a equação
possui somente uma raíz real
.
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.