Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar, usando a Desigualdade de Bernoulli, que:
Aqui, estamos trabalhando com limites e desigualdades na matemática. Para resolver isso, vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli, que nos ajudará a estabelecer limites superiores e inferiores para a expressão
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a raiz
-ésima de
de uma forma que facilite o uso da Desigualdade de Bernoulli. Sabemos que:
Isso transforma a raiz em uma potência, o que é útil para aplicar propriedades de limites e desigualdades.
Passo 3
Agora, vamos considerar que
e reescrever
como
. Assim:
Aqui, estamos preparando a expressão para aplicar a Desigualdade de Bernoulli, que é válida para
. No nosso caso,
é um número real que satisfaz essa condição.
Passo 4
A Desigualdade de Bernoulli afirma que, para
e
:
Aplicando isso à nossa expressão, temos:
Ou seja:
Isso nos dá um limite superior para
.
Passo 5
Para encontrar o limite quando
tende ao infinito, observamos que
tende a zero:
Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), já que
está sempre próximo de 1 e seu limite superior tende a 1, concluímos que:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Provar que a equação
possui somente uma raíz real
.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
. Calcular aproximadamente
com precisão 0.001.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.