Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
lim n +infty raiz[n]a=1, forall a in R^+.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar, usando a Desigualdade de Bernoulli, que:
lim n +infty raiz[n]a = 1, forall a in R^+
Aqui, estamos trabalhando com limites e desigualdades na matemática. Para resolver isso, vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli, que nos ajudará a estabelecer limites superiores e inferiores para a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz raiz[n]a = a^1n -ésima de de uma forma que facilite o uso da Desigualdade de Bernoulli. Sabemos que:
Isso transforma a raiz em uma potência, o que é útil para aplicar propriedades de limites e desigualdades.

Passo 3

Agora, vamos considerar que a^1n = (1 + (a - 1))^1n e reescrever como . Assim:
Aqui, estamos preparando a expressão para aplicar a Desigualdade de Bernoulli, que é válida para . No nosso caso, é um número real que satisfaz essa condição.

Passo 4

A Desigualdade de Bernoulli afirma que, para (1 + x)^r <= 1 + rx e (1 + (a - 1))^1n <= 1 + 1n(a - 1) :
a^1n <= 1 + a - 1n
Aplicando isso à nossa expressão, temos:
Ou seja:
Isso nos dá um limite superior para .

Passo 5

Para encontrar o limite quando limn to infty (1 + a - 1n) = 1 tende ao infinito, observamos que lim n +infty raiz[n]a = 1 tende a zero:
Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), já que está sempre próximo de 1 e seu limite superior tende a 1, concluímos que:

Resposta

lim n +infty raiz[n]a = 1, forall a in R^+

Exercícios relacionados